第一章 电路模型和电路定理
一、电压、电流参考方向与 VCR
1. 参考方向的含义
电路中标出的电压 $u$、电流 $i$ 方向只是人为规定的参考方向。
- 若计算结果为正，说明实际方向与参考方向一致。
- 若计算结果为负，说明实际方向与参考方向相反。
2. 关联参考方向
若电流从电压参考正端流入，称为关联参考方向。
此时电阻满足：
$$u = Ri$$
3. 非关联参考方向
若电流从电压参考负端流入，称为非关联参考方向。
此时电阻满足：
$$u = -Ri$$
4. 电阻的伏安关系 VCR
$$u = Ri$$
成立条件：电流从电压正端流入。
$$u = -Ri$$
成立条件：电流从电压负端流入。
5. 电压源的伏安关系
理想电压源只规定端电压，不规定电流。
若电压源极性与参考电压 $u$ 一致：
$$u = U_s$$
若电压源极性与参考电压 $u$ 相反：
$$u = -U_s$$
6. 电流源的伏安关系
理想电流源只规定电流，不规定端电压。
若电流源方向与参考电流 $i$ 一致：
$$i = I_s$$
若电流源方向与参考电流 $i$ 相反：
$$i = -I_s$$
二、受控源与等效电阻
1. 受控源的定义
受控源的电压或电流由电路中其他变量控制。
常见形式：
| 类型 | 表达式 | 含义 |
|---|---|---|
| VCVS | $u = \mu u_x$ | 电压控制电压源 |
| VCCS | $i = g u_x$ | 电压控制电流源 |
| CCVS | $u = r i_x$ | 电流控制电压源 |
| CCCS | $i = \beta i_x$ | 电流控制电流源 |
2. 判断受控源能否看成电阻
若从端口看进去，受控源或含受控源网络的端口伏安关系能写成：
$$u = Ri$$
或：
$$i = Gu$$
则可以等效为电阻。
其中：
$$R = \frac{u}{i}, \quad G = \frac{i}{u}$$
3. 受控源可以等效为负电阻
若得到：
$$u = -Ri$$
则等效电阻为：
$$R_{eq} < 0$$
负电阻在电路理论中是允许的，常由受控源实现。
4. 求端口等效电阻的方法
对端口 $a,b$ 加测试电压 $U$，求输入电流 $I$，则：
$$R_{ab} = \frac{U}{I}$$
或对端口加测试电流 $I$，求端口电压 $U$，则：
$$R_{ab} = \frac{U}{I}$$
含受控源电路不能简单“关闭”受控源，必须保留受控源并列方程求解。
5. 并联等效
两个电阻并联：
$$R_{eq} = \frac{R_1R_2}{R_1 + R_2}$$
或用电导：
$$G_{eq} = G_1 + G_2, \quad R_{eq} = \frac{1}{G_{eq}}$$
6. 串联等效
电阻串联时：
$$R_{eq} = R_1 + R_2 + \cdots$$
若其中有负电阻，也按代数相加。
三、KCL：基尔霍夫电流定律
1. KCL 内容
任一节点处，流入节点的电流代数和等于流出节点的电流代数和。
常用写法：
$$\sum I_{入} = \sum I_{出}$$
或：
$$\sum i = 0$$
2. KCL 使用步骤
- 选定一个节点。
- 标清各支路电流方向。
- 统一规定流入为正或流出为正。
- 写出电流代数和为零。
- 代入已知量求未知量。
3. 电流为负的意义
若求得：
$$i < 0$$
说明实际电流方向与题图参考方向相反。
例如：
$$i = -3\ \mathrm{A}$$
表示实际电流大小为 $3\ \mathrm{A}$，方向与参考方向相反。
4. 已知电流为负值的处理
若题中某支路标注为：
$$-10\ \mathrm{A}$$
表示该支路实际电流方向与图中参考箭头方向相反，大小为：
$$10\ \mathrm{A}$$
列 KCL 时要按实际流入、流出关系判断，或直接用代数符号代入。
四、KVL：基尔霍夫电压定律
1. KVL 内容
任一闭合回路中，各元件电压的代数和为零。
$$\sum u = 0$$
也可理解为：
$$\sum \text{电压升} = \sum \text{电压降}$$
2. KVL 使用步骤
- 选定一个闭合回路。
- 假定绕行方向。
- 遇到电阻，按电流方向判断电压降。
- 遇到电压源，按极性判断升压或降压。
- 写出电压代数和为零。
3. 电阻电压判断
若沿电流方向经过电阻，则为电压降：
$$+Ri$$
若逆电流方向经过电阻，则为电压升：
$$-Ri$$
4. 电压源电压判断
若从电压源正端到负端，电压降低：
$$+U_s$$
若从电压源负端到正端，电压升高：
$$-U_s$$
前提是统一采用“电压降为正”的写法。
五、节点电压法思想
1. 选参考节点
通常选下方公共导线为参考节点：
$$V_0 = 0$$
2. 电阻支路电流
若电阻两端节点电压分别为 $V_a,V_b$，电流参考方向从 $a$ 到 $b$，则：
$$i = \frac{V_a - V_b}{R}$$
3. 已知电压源求节点电压
若电压源下端接参考点，且上端为正，则上端节点电压为：
$$V = U_s$$
若上端为负、下端为正，则上端节点电压为：
$$V = -U_s$$
4. 已知电阻电流求节点电压
若电阻下端接参考点，电流从上向下流过电阻，则上端节点电压为：
$$V = Ri$$
六、受控源题常用处理方法
1. 受控电压源
受控电压源一般给出：
$$u_s = kx$$
其中 $x$ 是控制量。
处理步骤：
- 先根据已知条件求控制量 $x$。
- 得到受控源电压 $u_s$。
- 根据受控源极性确定节点电压关系。
例如：
$$V_{右} - V_{左} = 5i_1$$
表示右端比左端高 $5i_1$。
2. 受控电流源
受控电流源一般给出：
$$i_s = kx$$
处理步骤：
- 先求控制量 $x$。
- 得到受控源电流。
- 根据箭头方向确定该电流流入或流出哪个节点。
- 用 KCL 求其他电流。
七、特殊结论整理
1. 三角形等值电阻支路中的 KVL
若三角形三边电阻相等：
$$R_1 = R_2 = R_3 = R$$
且三支路电流按题图方向定义，则可由 KVL 得到类似关系：
$$Ri_1 + Ri_2 + Ri_3 = 0$$
即：
$$i_1 + i_2 + i_3 = 0$$
注意：具体正负号要根据电流方向和绕行方向判断。
2. 电阻未知时不能随意分流
若电阻阻值未定，不能使用分流公式确定各支路电流。
只能利用 KCL 得到电流之间的关系。
例如只能得到：
$$i_1 = i_2 + 3$$
$$i_3 = i_2 - 4$$
而不能唯一求出 $i_1,i_2,i_3$。
八、典型题型方法总结
题型 1：写 VCR
步骤：
- 看元件类型。
- 看电压参考极性。
- 看电流参考方向。
- 判断是否关联参考方向。
- 写出关系式。
公式：
- 关联：$u = Ri$
- 非关联：$u = -Ri$
题型 2：求含受控源端口等效电阻
步骤：
在端口加测试电压 $U$ 或测试电流 $I$。
保留所有受控源。
用 KCL/KVL 写出端口伏安关系。
求：
$$R_{ab} = \frac{U}{I}$$
题型 3：只用 KCL 求未知电流
步骤：
- 逐个节点列 KCL。
- 已知电流注意正负号。
- 能确定的电流直接求。
- 不能确定的电流用参数表示。
- 若有额外条件，如电阻相等，再结合 KVL 求解。
题型 4：KCL 与 KVL 联合求电流
步骤：
- 先用欧姆定律表示某些支路电压。
- 用 KVL 表示含电压源支路的电流。
- 再在关键节点列 KCL。
- 联立求解。
题型 5：含受控源求支路电流
步骤：
- 选参考节点。
- 由已知电压源或电阻电流求节点电压。
- 求控制量。
- 求受控源电压或电流。
- 用欧姆定律或 KCL 求目标电流。
九、常见易错点
1. 忽略参考方向
电流、电压方向都是人为选定的，结果为负只是方向相反，不是错误。
2. 电阻一律写 $u = Ri$
错误。必须先判断是否关联参考方向。
3. 电压源支路电流不能由电压源单独决定
理想电压源只规定电压，不规定电流。
4. 电流源两端电压不能由电流源单独决定
理想电流源只规定电流，不规定电压。
5. 含受控源时不能随便等效
受控源是否能看成电阻，要看其端口伏安关系是否能写成：
$$u = Ri$$
或：
$$i = Gu$$
6. 负电阻是允许的
受控源可能等效成负电阻，例如：
$$u = -5i$$
对应：
$$R = -5\ \Omega$$
7. KCL 中已知负电流要特别小心
标注为 $-10\ \mathrm{A}$ 的支路，说明实际方向与参考箭头相反。
第二章 电阻电路的等效变换
一、电阻等效基础
1. 串联电阻
电阻首尾相接且中间节点没有其他支路时为串联，串联电阻电流相同。
$$R_{eq}=R_1+R_2+\cdots+R_n$$
特点：
- 串联电阻越多，总电阻越大。
- 各电阻电流相同。
- 电压按电阻大小分配。
2. 并联电阻
电阻两端分别接在同一对节点上时为并联，并联电阻电压相同。
$$\frac{1}{R_{eq}}=\frac{1}{R_1}+\frac{1}{R_2}+\cdots+\frac{1}{R_n}$$
两个电阻并联：
$$R_{eq}=\frac{R_1R_2}{R_1+R_2}$$
若两个相同电阻 $R$ 并联：
$$R_{eq}=\frac{R}{2}$$
特点：
- 并联电阻越多，总电阻越小。
- 各支路电压相同。
- 电流按电阻大小分配。
3. 短路与开路
若某电阻两端被导线直接连接，则该电阻被短路：
$$U_R=0$$
被短路电阻不参与等效计算。
若某支路断开，则该支路电流为零：
$$I=0$$
开路支路不参与电流通路计算。
二、等电位点与对称性
1. 等电位点
若两个节点由理想导线直接连接，则它们电位相等，可以看成同一个节点。
$$V_1=V_2$$
2. 对称性判断
如果电路结构关于某一轴或某一面对称，且激励也对称，则对称位置的节点电位相等。
若两个节点电位相等，则连接它们的电阻中无电流：
$$U=0,\quad I=0$$
该电阻可去掉。
3. 常见对称网络结论
方格电阻网络和立方体电阻网络常用等电位点化简。若每条边电阻为 $R$，常见结论可整理为：
方格电阻网络取对角两点为端口时，先找对称点，再合并等电位点后做串并联化简。
立方体相邻两顶点之间：
$$R_{ab}=\frac{7}{12}R$$
立方体面对角线两顶点之间：
$$R_{ab}=\frac{3}{4}R$$
立方体体对角线两顶点之间：
$$R_{ab}=\frac{5}{6}R$$
例如 $R=2\ \Omega$ 时，立方体相邻顶点间等效电阻为：
$$R_{ab}=\frac{7}{12}\times2=\frac{7}{6}\ \Omega$$
三、节点电压法
1. 基本思想
选一个节点作为参考点，通常接地：
$$V_{参考}=0$$
设其余节点电压为未知量，对每个未知节点列 KCL 方程。
2. KCL 节点电流方程
对某节点列方程，可写为：
$$\sum I_{流出}=0$$
或：
$$\sum I_{流入}=\sum I_{流出}$$
电阻支路电流为：
$$I=\frac{V_{本节点}-V_{相邻节点}}{R}$$
3. 常用写法
若节点电压为 $V$，它通过电阻 $R$ 接到节点 $V_1$，则从节点 $V$ 流向 $V_1$ 的电流为：
$$I=\frac{V-V_1}{R}$$
若接地，则电流为：
$$I=\frac{V}{R}$$
四、输入电阻的求法
1. 输入电阻定义
从端口看进去的等效电阻为：
$$R_i=\frac{u_i}{i_i}$$
其中：
- $u_i$：端口输入电压。
- $i_i$：从端口流入电路的输入电流。
2. 普通电阻网络
若电路中只有独立电阻源，通常可用串并联、等效变换求输入电阻。
3. 含受控源电路
含受控源时，不能简单地把受控源去掉。常用方法：
- 在输入端加测试电压 $u_i$。
- 求输入电流 $i_i$。
- 用 $R_i=\dfrac{u_i}{i_i}$ 求输入电阻。
也可以加测试电流 $i_i$，求端口电压 $u_i$。
4. 受控源注意事项
受控源大小由电路中某个电压或电流控制，不能随意置零。
例如受控电流源大小为 $3i$，其中 $i$ 是输入电流，则列节点方程时必须保留 $3i$。
五、电源等效变换
1. 电压源串联电阻变换为电流源并联电阻
一个电压源 $U_s$ 串联电阻 $R$，可等效为电流源 $I_s$ 并联电阻 $R$。
$$I_s=\frac{U_s}{R}$$
电阻值不变。
2. 电流源并联电阻变换为电压源串联电阻
一个电流源 $I_s$ 并联电阻 $R$，可等效为电压源 $U_s$ 串联电阻 $R$。
$$U_s=I_sR$$
3. 方向判断
若电压源上端为正、下端接地，且与电阻串联接到上方节点，则等效电流源方向通常是从下往上，向节点注入电流。
4. 多个并联电流源合并
方向相同：
$$I_{eq}=I_1+I_2+\cdots$$
方向相反：
$$I_{eq}=I_1-I_2$$
多个并联电阻按并联公式合并。
六、桥式电路与平衡条件
1. 电桥平衡
若桥式电路满足：
$$\frac{R_1}{R_2}=\frac{R_3}{R_4}$$
则桥支路两端电位相等，桥支路无电流。
桥支路可视为开路，不影响等效电阻。
2. 中间支路无电流的本质
当两个节点电位相等时：
$$U=0$$
所以中间支路电流为：
$$I=\frac{U}{R}=0$$
七、电导与电阻
电导 $G$ 与电阻 $R$ 互为倒数：
$$G=\frac{1}{R},\quad R=\frac{1}{G}$$
单位：
- 电阻单位：欧姆，$\Omega$。
- 电导单位：西门子，$S$。
例如 $G=1\ S$，则：
$$R=\frac{1}{G}=1\ \Omega$$
八、桥 T 型衰减器知识点
1. 电压比
桥 T 网络常用于衰减器分析。设输入电压为 $u_i$，输出电压为 $u_o$，电压比记为：
$$k=\frac{u_o}{u_i}$$
2. 用节点电压法分析
设：
$$V_a=u_i,\quad V_c=u_o$$
中间节点电压为 $V_m$。若三个 $R_1$ 分别连接到 $a,c$ 和地，则中间节点 KCL 为：
$$\frac{V_m-V_a}{R_1}+\frac{V_m-V_c}{R_1}+\frac{V_m}{R_1}=0$$
整理得：
$$V_m=\frac{V_a+V_c}{3}$$
3. 桥 T 衰减器通用电压比
对于题中结构，可得到通用电压比：
$$\frac{u_o}{u_i}=\frac{\dfrac{1}{3R_1}+\dfrac{1}{R_2}}{\dfrac{2}{3R_1}+\dfrac{1}{R_2}+\dfrac{1}{R_L}}$$
4. 输入电阻表达式
令：
$$k=\frac{u_o}{u_i}$$
则输入电阻：
$$R_{ab}=\left(\frac{2-k}{3R_1}+\frac{1-k}{R_2}\right)^{-1}$$
5. 特殊结论一
当：
$$R_2=R_1=R_L$$
时：
$$R_{ab}=R_L$$
并且：
$$\frac{u_o}{u_i}=0.5$$
6. 特殊结论二
当：
$$R_2=\frac{2R_1R_L}{3R_1^2-R_L^2}$$
时：
$$R_{ab}=R_L$$
且：
$$\frac{u_o}{u_i}=\frac{3R_1+R_L}{3R_1-R_L}$$
若要求 $R_2>0$，需要：
$$3R_1^2-R_L^2>0$$
即：
$$R_L<\sqrt{3}R_1$$
九、典型题方法总结
1. 求等效电阻步骤
- 找等电位点。
- 判断是否有短路电阻。
- 判断是否有对称点。
- 能串并联的先串并联。
- 复杂网络用节点电压法。
- 最后用 $R_{eq}=\dfrac{U}{I}$。
2. 求输出电流步骤
- 选参考地。
- 设关键节点电压。
- 用电源等效变换简化电路。
- 列节点 KCL 方程。
- 求出目标节点电压。
- 用欧姆定律 $I=\dfrac{U}{R}$ 求电流。
3. 含电流源支路列方程注意
若电流源从节点 $A$ 指向节点 $B$：
- 对节点 $A$：电流流出。
- 对节点 $B$：电流流入。
列 KCL 时要注意正负号。
4. 含受控源求输入电阻步骤
- 输入端设测试电流 $i$ 或测试电压 $u$。
- 保留受控源。
- 设节点电压。
- 列 KCL。
- 求端口电压与端口电流关系。
- 得 $R_i=\dfrac{u}{i}$。
十、常见易错点
1. 被短路的电阻不能再参与计算
如果电阻两端接在同一导线上，则：
$$U=0$$
所以该电阻无效。
2. 受控源不能随便关掉
求输入电阻时：
- 独立电压源可置零为短路。
- 独立电流源可置零为开路。
- 受控源必须保留。
3. 并联判断必须看两端节点
不是图上看起来并排就是并联。只有两端分别接在同一对节点上的元件才是并联。
4. 串联判断必须看中间节点
两个元件串联要求：
- 首尾相接。
- 中间节点没有其他支路。
如果中间节点还连接其他支路，就不能直接串联。
5. 电流方向为负说明实际方向相反
若按图中方向设电流，计算结果为正，说明方向一致；若结果为负，说明实际方向与假设方向相反。
十一、重点公式汇总
$$R_{串}=R_1+R_2+\cdots$$
$$\frac{1}{R_{并}}=\frac{1}{R_1}+\frac{1}{R_2}+\cdots$$
$$R_1\parallel R_2=\frac{R_1R_2}{R_1+R_2}$$
$$R=\frac{1}{G}$$
$$R_i=\frac{u_i}{i_i}$$
$$I_s=\frac{U_s}{R},\quad U_s=I_sR$$
$$I=\frac{U}{R}$$
$$\sum I_{流入}=\sum I_{流出}$$
$$\sum\frac{V_{节点}-V_{相邻节点}}{R}=0$$
$$\frac{R_1}{R_2}=\frac{R_3}{R_4}$$
第三章 电阻电路的一般分析
下面把以上题目涉及的电路分析知识点系统整理成笔记版，重点包括：支路电流法、网孔电流法、回路电流法、节点电压法验算、电源处理、受控源处理、符号方向判断等。
一、电路分析的基本定律
1. 欧姆定律
电阻元件满足：
$$u=Ri$$
若电流方向从电压正端流入，则：
$$u=Ri$$
若电流方向从电压负端流入，则：
$$u=-Ri$$
常用形式：
$$i=\frac{u}{R}$$
2. 基尔霍夫电流定律 KCL
节点处电流代数和为零：
$$\sum i=0$$
常用写法：
$$\text{流入节点电流之和}=\text{流出节点电流之和}$$
适用于：
- 节点分析。
- 支路电流法。
- 超节点分析。
- 检查电流方向是否合理。
3. 基尔霍夫电压定律 KVL
任一闭合回路中电压代数和为零：
$$\sum u=0$$
常用理解：沿回路绕行一周，电压升高量之和等于电压降低量之和。
适用于：
- 支路电流法。
- 网孔电流法。
- 回路电流法。
- 超网孔分析。
二、参考方向与正负号
1. 电流参考方向
题目中箭头方向只是人为规定的参考方向。
- 电流为正：实际方向与参考方向相同。
- 电流为负：实际方向与参考方向相反。
例如：
$$i_5=-0.956\ \mathrm{A}$$
表示实际电流大小为 $0.956\ \mathrm{A}$，方向与题图所标方向相反。
2. 电压参考极性
电压标注“+”“−”表示参考电压方向。
$$U_x=V_+-V_-$$
若 $U_x>0$，说明正端电位确实高于负端；若 $U_x<0$，说明实际极性与标注相反。
3. 关联参考方向
若电流从电阻电压正端流入，则：
$$u=Ri$$
若电流从电压负端流入，则：
$$u=-Ri$$
这是列 KVL 时最容易出错的地方。
三、支路电流法
1. 基本思想
支路电流法是以每条支路电流为未知量，利用 KCL 和 KVL 建立方程求解。
适合支路数不多的电路。
2. 解题步骤
第一步：设支路电流
给每条支路假设一个电流方向。即使方向设错也没关系，结果为负即可说明实际方向相反。
第二步：列节点 KCL 方程
若电路有 $n$ 个节点，则独立 KCL 方程数为：
$$n-1$$
不要把所有节点方程都列上，否则会出现方程不独立。
第三步：列独立回路 KVL 方程
若电路有 $b$ 条支路、$n$ 个节点，则独立回路数为：
$$l=b-n+1$$
需要列 $l$ 个独立 KVL 方程。
第四步：联立求解
最后由方程组求各支路电流。
3. 支路电流法特点
优点：
- 概念直观。
- 适合基础训练。
- 能清楚体现 KCL、KVL。
缺点：
- 未知量较多。
- 方程数量较多。
- 对复杂电路计算量大。
四、网孔电流法
1. 基本思想
网孔电流法是给每个网孔假设一个网孔电流，然后对每个网孔列 KVL。
网孔电流法适用于平面电路。
2. 网孔电流方向
通常将所有网孔电流统一设为顺时针方向，这样列方程时规律更清楚。
3. 电阻电压的写法
情况一：电阻只属于一个网孔
若电阻 $R$ 只被网孔电流 $I_1$ 通过，则电压降为：
$$RI_1$$
情况二：电阻被两个网孔共用
若电阻 $R$ 被网孔 $I_1$ 和 $I_2$ 共用，且两网孔电流在该电阻中方向相反，则对网孔 $I_1$ 来看，该电阻上的电流为：
$$I_1-I_2$$
电压降为：
$$R(I_1-I_2)$$
对网孔 $I_2$ 来看为：
$$R(I_2-I_1)$$
4. 网孔方程标准形式
对第 $k$ 个网孔：
$$\text{本网孔电阻总和}\times I_k-\sum \text{公共电阻}\times I_{相邻}=\text{电源代数和}$$
例如：
$$(R_1+R_2+R_3)I_1-R_2I_2-R_3I_3=U$$
5. 网孔电流与支路电流关系
如果某支路只属于一个网孔，则：
$$i_{支路}=I_{网孔}$$
如果某支路为两个网孔共用，则：
$$i_{支路}=I_a-I_b$$
具体符号由支路参考方向决定。
五、回路电流法
1. 基本思想
回路电流法是选取一组独立回路，给每个回路设回路电流，然后列 KVL 求解。
2. 回路电流法与网孔电流法的区别
| 方法 | 适用范围 | 回路选择 |
|---|---|---|
| 网孔电流法 | 只适用于平面电路 | 只能选最小网孔 |
| 回路电流法 | 平面、非平面电路均可 | 可任选独立回路 |
网孔电流法是回路电流法的特殊情况。
3. 独立回路的选择原则
为了减少计算量，应尽量：
- 让电流源只属于一个回路。
- 避免电流源处在两个回路公共支路中。
- 让待求支路电流直接等于某个回路电流。
- 使受控源控制量容易表示。
- 尽量少列超回路方程。
例如：
- 若某电流源只在一个回路中，则该回路电流可直接确定。
- 若待求 $I$ 在某一单独支路上，可让一个回路电流直接通过该支路，使 $I=I_k$。
六、电流源在回路法中的处理
1. 电流源只属于一个回路
若电流源只在一个回路中，则该回路电流可直接由电流源确定。
例如：
$$I_2=0.15\ \mathrm{A}$$
如果方向相反，则：
$$I_2=-0.15\ \mathrm{A}$$
2. 电流源在两个回路公共支路中
此时不能直接对含电流源的单个回路列 KVL，因为电流源两端电压未知。
方法：建立超网孔/超级回路
绕开电流源，把相邻两个网孔合并为一个大回路列 KVL，然后再补充电流源约束方程。
电流源约束方程
若电流源在两个网孔 $I_2$、$I_3$ 的公共支路中，且电流源方向与 $I_3$ 在该支路方向一致、与 $I_2$ 相反，则：
$$I_3-I_2=I_s$$
例如：
$$I_3-I_2=3.5$$
七、电压源在回路法中的处理
1. 独立电压源
独立电压源可以直接列入 KVL 方程。
沿回路方向：
- 从负端到正端：电压升高，可记为 $-U_s$，或移到等式右端记为 $+U_s$。
- 从正端到负端：电压降低，可记为 $+U_s$，或移到等式右端记为 $-U_s$。
关键是全题符号规则保持一致。
2. 受控电压源
受控电压源本质上仍是电压源，可以直接列入 KVL，但必须额外写出控制量关系。
例如：
$$u=0.5U_x$$
若：
$$U_x=-20I_1$$
则：
$$u=0.5U_x=-10I_1$$
八、受控源处理方法
1. 受控源不能随意等效为独立源
受控源的大小由电路中某个电压或电流控制。
例如：
$$0.05U_x$$
表示受控电流源电流大小与 $U_x$ 成正比。
2. 解题时必须补充控制量关系
遇到受控源时，一般需要增加控制量表达式。
例如图 3-13(a) 中：
$$I_3=0.05U_x$$
又因为：
$$U_x=32(I_1-I_3)$$
这两个关系必须同时使用。
3. 受控电流源在回路法中的处理
若受控电流源只属于一个回路：
$$I_k=0.05U_x$$
再把 $U_x$ 用回路电流表示。
若受控电流源在公共支路中，则通常需要建立超网孔，并补充约束方程。
九、节点电压法
1. 基本思想
节点电压法以节点电压为未知量，对节点列 KCL 方程。
特别适合：
- 电流源较多的电路。
- 求节点电压。
- 验算回路电流法结果。
2. 解题步骤
- 选参考节点，令其电位为 $0\ \mathrm{V}$。
- 设其余节点电压。
- 用节点电压表示各支路电流。
- 对各节点列 KCL。
- 联立求解。
- 根据题目要求求电流或电压。
3. 电阻支路电流表达式
若电阻 $R$ 连接节点 $a,b$，则从 $a$ 流向 $b$ 的电流为：
$$i_{a\to b}=\frac{V_a-V_b}{R}$$
4. 节点法中电压源处理
电压源一端接参考节点
若电压源一端接地，则另一端节点电压可直接确定。
例如：
$$u_s=20\ \mathrm{V}$$
上正下负，下端接地，则上端节点电压：
$$V=20\ \mathrm{V}$$
电压源在两个非参考节点之间
此时通常使用超节点。列超节点 KCL，再补充电压源约束方程。
十、超网孔与超节点
1. 超网孔
出现条件：电流源位于两个网孔公共支路上。
处理：
- 绕开电流源，对外边界列 KVL。
- 补充电流源约束方程。
典型约束：
$$I_3-I_2=I_s$$
2. 超节点
出现条件：电压源位于两个非参考节点之间。
处理：
- 把电压源两端节点看成一个整体。
- 对整体列 KCL。
- 补充电压源电压关系。
十一、如何选择独立回路使计算量最少
这是题 3-13 特别强调的重点。
1. 优先让电流源只属于一个回路
这样可以直接得到回路电流。
例如图 3-13(a)：
$$I_2=0.15\ \mathrm{A}$$
受控电流源所在回路：
$$I_3=0.05U_x$$
这样大大减少方程数量。
2. 尽量让待求量直接等于某个回路电流
例如图 3-13(b)：若选右下回路电流为 $I_3$，且它经过右侧支路方向与题给 $I$ 相同，则：
$$I=I_3$$
这样不用再额外换算。
3. 让控制量容易表示
例如 $U_x$ 是某个电阻电压时，最好选回路电流使该电阻电流容易写出。
若电阻只属于一个回路：
$$U_x=RI_k$$
若电阻为两个回路共用：
$$U_x=R(I_a-I_b)$$
4. 避免过多超网孔
若电流源处在公共支路，会产生超网孔。能避开就避开；如果无法避开，就列：
$$\text{超网孔 KVL}+\text{电流源约束方程}$$
十二、典型题型结论整理
1. 题 3-7、3-8、3-9 类型
同一个电路可分别用：
- 支路电流法。
- 网孔电流法。
- 回路电流法。
- 节点电压法验算。
核心思想是：
$$KCL+KVL+\text{元件伏安关系}$$
最终结果若为负，表示实际方向与参考方向相反。
2. 题 3-13(a) 类型
含有：
- 独立电压源。
- 独立电流源。
- 受控电流源。
- 控制电压 $U_x$。
适合回路电流法，并选取电流源独占回路。
关键关系：
$$I_2=0.15\ \mathrm{A}$$
$$I_3=0.05U_x$$
$$U_x=32(I_1-I_3)$$
最终：
$$\boxed{U_x=8\ \mathrm{V}}$$
3. 题 3-13(b) 类型
含有：
- 独立电流源。
- 受控电压源。
- 控制电压 $U_x$。
- 需要求支路电流 $I$。
适合选右下回路电流直接等于待求电流：
$$I=I_3$$
由于电流源在两个网孔公共支路中，需要使用超网孔：
$$I_3-I_2=3.5$$
控制量关系：
$$U_x=-20I_1$$
最终：
$$\boxed{I=1\ \mathrm{A}}$$
十三、常见易错点
1. 忽略参考方向
电流方向是人为假设的，负号不是错误。
2. 电压源符号写反
列 KVL 时一定看清楚绕行方向是从“+到−”还是从“−到+”。
3. 共享电阻电流写错
公共电阻不能直接写成 $RI_1$，应写成：
$$R(I_1-I_2)$$
或：
$$R(I_2-I_1)$$
4. 受控源漏写控制方程
看到受控源必须写出：
$$\text{受控源量}=\text{控制系数}\times\text{控制量}$$
并把控制量用未知量表示。
5. 电流源公共支路忘记列约束方程
有超网孔时，除了 KVL 外，还必须列电流源约束：
$$I_a-I_b=I_s$$
6. 把网孔电流误认为所有支路电流
网孔电流不是实际支路电流。只有当某支路只属于一个网孔时，该支路电流才等于该网孔电流。
十四、考试快速解题模板
模板 1：支路电流法
$$
\boxed{
\begin{aligned}
&1.\ 设各支路电流方向；\
&2.\ 列(n-1)\text{个 KCL 方程；}\
&3.\ 列(b-n+1)\text{个 KVL 方程；}\
&4.\ 联立求解；\
&5.\ 判断正负方向。
\end{aligned}}
$$
模板 2：网孔/回路电流法
$$
\boxed{
\begin{aligned}
&1.\ 设网孔/回路电流，通常顺时针；\
&2.\ 电阻压降写成 R(I_k-I_j)；\
&3.\ 电压源按极性列入 KVL；\
&4.\ 电流源独占回路时直接给出回路电流；\
&5.\ 电流源在公共支路时列超网孔；\
&6.\ 受控源补充控制量关系；\
&7.\ 求目标电流或电压。
\end{aligned}}
$$
模板 3：节点电压法
$$
\boxed{
\begin{aligned}
&1.\ 选参考节点；\
&2.\ 设节点电压；\
&3.\ 用\frac{V_a-V_b}{R}\text{ 表示支路电流；}\
&4.\ 对节点列 KCL；\
&5.\ 电压源接地则节点电压直接已知；\
&6.\ 非接地电压源用超节点；\
&7.\ 联立求解。
\end{aligned}}
$$
十五、最终记忆口诀
$$\boxed{\text{支路电流法：支路为未知，KCL+KVL}}$$
$$\boxed{\text{网孔电流法：网孔为未知，只列KVL}}$$
$$\boxed{\text{节点电压法：节点电压为未知，只列KCL}}$$
$$\boxed{\text{电流源夹网孔，用超网孔}}$$
$$\boxed{\text{电压源夹节点，用超节点}}$$
$$\boxed{\text{受控源不能丢，控制关系要补足}}$$
$$\boxed{\text{结果为负不怕，实际方向反一下}}$$
$$\boxed{\text{选回路有技巧：电流源独占，待求量直等}}$$
第四章 电路定理
一、叠加定理
1. 适用条件
叠加定理适用于：
$$
\boxed{\text{线性电路}}
$$
即由电阻、线性受控源、独立电压源、独立电流源组成的电路。
2. 基本内容
在含有多个独立电源的线性电路中，某支路的电压或电流等于各个独立电源单独作用时产生的电压或电流的代数和。
即：
$$
\boxed{x=x_1+x_2+x_3+\cdots}
$$
其中 $x$ 可以是某支路电压或电流。
3. 电源置零规则
使用叠加定理时，每次只保留一个独立源，其余独立源置零。
独立电压源置零
电压源电压为零：
$$
U=0
$$
等效为：
$$
\boxed{\text{短路}}
$$
独立电流源置零
电流源电流为零：
$$
I=0
$$
等效为：
$$
\boxed{\text{开路}}
$$
4. 受控源处理
受控源通常不能随便置零，因为它不是独立源，而是由电路变量控制。
一般原则：
$$
\boxed{\text{受控源保留}}
$$
如果题目要求把受控源也作为分响应处理，则要特别注意：
$$
\boxed{\text{受控源控制量通常仍为原电路总响应}}
$$
例如前面题中受控源为：
$$
6I_a
$$
分解响应时：
$$
I_a=I_a’+I_a’’+I_a’’’
$$
但受控源电压中的 $I_a$ 是总响应，不是某一个分电路中的 $I_a’$、$I_a’’$ 或 $I_a’’’$。
5. 叠加定理易错点
易错点 1：功率不能直接叠加
叠加定理适用于电压、电流，不适用于功率。
因为：
$$
P=UI=I^2R=\frac{U^2}{R}
$$
功率与电压、电流不是线性关系。
所以：
$$
\boxed{功率不能用叠加定理直接相加}
$$
易错点 2：方向必须统一
若参考方向与实际方向相反，计算结果为负。
例如：
$$
I=-1.5\text{ A}
$$
表示实际电流大小为：
$$
1.5\text{ A}
$$
方向与参考方向相反。
易错点 3：电压源极性要看清
若电压源上正下负，下端接地，则上端电压为正：
$$
V=+U
$$
若电压源上负下正，下端接地，则上端电压为负：
$$
V=-U
$$
二、节点电压法
1. 基本思想
选一个节点作为参考点，通常取下方公共导线为地：
$$
V=0
$$
设未知节点电压，然后对每个未知节点列 KCL 方程。
2. KCL 基本形式
节点流出电流之和等于零：
$$
\sum I_{\text{流出}}=0
$$
或：
$$
\sum I_{\text{流出}}=\sum I_{\text{流入}}
$$
3. 电阻支路电流表达式
若电阻 $R$ 两端节点电压分别为 $V_1,V_2$，从 $V_1$ 流向 $V_2$ 的电流为：
$$
\boxed{I=\frac{V_1-V_2}{R}}
$$
4. 电流源处理
若电流源向节点注入电流 $I_s$，则可以写为：
$$
\sum \frac{V}{R}=I_s
$$
若电流源从节点流出，则写为负注入。
5. 超节点
当两个未知节点之间直接连接电压源时，不能直接用欧姆定律写电流。
这时使用超节点。
步骤：
- 把电压源两端节点看成一个整体；
- 对整个超节点列 KCL；
- 再补充电压源约束方程。
例如：
$$
V_T-V_M=10
$$
三、戴维南定理
1. 基本内容
任意线性有源二端网络，对外可等效为：
$$
\boxed{\text{一个电压源 }U_{\text{Th}}\text{ 串联一个电阻 }R_{\text{Th}}}
$$
2. 戴维南电压
戴维南电压等于端口开路电压：
$$
\boxed{U_{\text{Th}}=U_{oc}}
$$
其中：
$$
U_{oc}=V_a-V_b
$$
3. 戴维南电阻
若网络中只含独立源和电阻：
$$
\boxed{R_{\text{Th}}=R_{\text{eq}}}
$$
求法：
- 独立电压源置零，即短路；
- 独立电流源置零，即开路；
- 从端口看进去求等效电阻。
4. 含受控源时求 $R_{\text{Th}}$
若电路含有受控源，一般不能直接将受控源置零。
常用方法：
方法一：外加测试源法
在端口加一个测试电压源 $U_t$，求输入电流 $I_t$：
$$
\boxed{R_{\text{Th}}=\frac{U_t}{I_t}}
$$
或加测试电流源 $I_t$，求端口电压 $U_t$：
$$
\boxed{R_{\text{Th}}=\frac{U_t}{I_t}}
$$
方法二：短路电流法
先求开路电压 $U_{oc}$，再求短路电流 $I_{sc}$：
$$
\boxed{R_{\text{Th}}=\frac{U_{oc}}{I_{sc}}}
$$
四、诺顿定理
1. 基本内容
任意线性有源二端网络，对外可等效为：
$$
\boxed{\text{一个电流源 }I_N\text{ 并联一个电阻 }R_N}
$$
2. 诺顿电阻
$$
\boxed{R_N=R_{\text{Th}}}
$$
3. 诺顿电流
$$
\boxed{I_N=\frac{U_{\text{Th}}}{R_{\text{Th}}}}
$$
也等于端口短路电流：
$$
\boxed{I_N=I_{sc}}
$$
4. 戴维南与诺顿等效互换
戴维南变诺顿
$$
\boxed{I_N=\frac{U_{\text{Th}}}{R_{\text{Th}}}}
$$
$$
\boxed{R_N=R_{\text{Th}}}
$$
诺顿变戴维南
$$
\boxed{U_{\text{Th}}=I_NR_N}
$$
$$
\boxed{R_{\text{Th}}=R_N}
$$
5. 方向关系
若：
$$
U_{\text{Th}}=V_a-V_b>0
$$
则说明开路时：
$$
V_a>V_b
$$
戴维南电压源正端在 $a$ 端。
对应诺顿电流源方向可取为：
$$
\boxed{b\rightarrow a}
$$
因为电流源向高电位端 $a$ 注入电流。
若讨论外部短路电流，则短路电流方向为：
$$
\boxed{a\rightarrow b}
$$
五、最大功率传输定理
1. 适用条件
当一个实际电源或有源二端网络向负载 $R_L$ 供电时，可将电源侧等效为戴维南形式：
$$
U_{\text{Th}} \text{ 串联 }R_{\text{Th}}
$$
2. 最大功率条件
负载为纯电阻时，负载获得最大功率的条件是：
$$
\boxed{R_L=R_{\text{Th}}}
$$
3. 最大功率公式
当：
$$
R_L=R_{\text{Th}}
$$
时：
$$
I=\frac{U_{\text{Th}}}{R_{\text{Th}}+R_L}
$$
$$
I=\frac{U_{\text{Th}}}{2R_{\text{Th}}}
$$
负载最大功率：
$$
\boxed{P_{\max}=\frac{U_{\text{Th}}^2}{4R_{\text{Th}}}}
$$
4. 最大功率时的特点
当 $R_L=R_{\text{Th}}$ 时：
$$
U_L=\frac{U_{\text{Th}}}{2}
$$
$$
I_L=\frac{U_{\text{Th}}}{2R_{\text{Th}}}
$$
负载功率最大，但效率只有：
$$
\boxed{50%}
$$
因为内阻和负载消耗功率相等。
六、负载电压、电流、功率公式
如果有源二端网络等效为：
$$
U_{\text{Th}}\text{ 串联 }R_{\text{Th}}
$$
接负载 $R_L$，则：
1. 负载电流
$$
\boxed{I_L=\frac{U_{\text{Th}}}{R_{\text{Th}}+R_L}}
$$
2. 负载电压
$$
\boxed{U_L=I_LR_L}
$$
即：
$$
\boxed{U_L=\frac{U_{\text{Th}}R_L}{R_{\text{Th}}+R_L}}
$$
3. 负载功率
$$
\boxed{P_L=I_L^2R_L}
$$
即：
$$
\boxed{P_L=\left(\frac{U_{\text{Th}}}{R_{\text{Th}}+R_L}\right)^2R_L}
$$
也可写为：
$$
\boxed{P_L=\frac{U_{\text{Th}}^2R_L}{(R_{\text{Th}}+R_L)^2}}
$$
七、电源发出功率与吸收功率
1. 被动符号约定
若电流从元件正端流入，则该元件吸收功率：
$$
\boxed{P=UI}
$$
2. 电源发出功率
若电流从电压源正端流出，则电压源发出功率：
$$
\boxed{P_{\text{发出}}=UI}
$$
若按吸收功率计算，则为负值。
3. 功率守恒
整个电路中：
$$
\boxed{\sum P_{\text{发出}}=\sum P_{\text{吸收}}}
$$
或按统一被动符号约定：
$$
\boxed{\sum P=0}
$$
八、常见等效电阻化简
1. 串联
电阻串联：
$$
\boxed{R=R_1+R_2+\cdots}
$$
特点：
- 电流相同；
- 总电压等于各电压之和。
2. 并联
电阻并联：
$$
\boxed{\frac{1}{R}=\frac{1}{R_1}+\frac{1}{R_2}+\cdots}
$$
两个电阻并联：
$$
\boxed{R=\frac{R_1R_2}{R_1+R_2}}
$$
特点：
- 电压相同；
- 总电流等于各支路电流之和。
3. 常见并联结果
$$
2\Omega\parallel 2\Omega=1\Omega
$$
$$
5\Omega\parallel 20\Omega=4\Omega
$$
$$
20\Omega\parallel 20\Omega=10\Omega
$$
$$
6\Omega\parallel 24\Omega=4.8\Omega
$$
九、电导与电阻关系
电导 $G$ 与电阻 $R$ 互为倒数：
$$
\boxed{G=\frac{1}{R}}
$$
$$
\boxed{R=\frac{1}{G}}
$$
例如：
$$
G=0.2\text{ S}
$$
则：
$$
R=\frac{1}{0.2}=5\Omega
$$
十、分压器知识点
若电阻 $R$ 接在电压源 $U_s$ 两端，中间有抽头。
若抽头下方电阻为：
$$
\alpha R
$$
上方电阻为：
$$
(1-\alpha)R
$$
则抽头对下端电压为：
$$
\boxed{U=\alpha U_s}
$$
若抽头后串联一个 $R_1$，且端口开路，则 $R_1$ 中无电流，无压降，端口电压仍为：
$$
\boxed{U_{oc}=\alpha U_s}
$$
十一、求端口等效的一般步骤
方法一：戴维南法
第一步：求开路电压
断开负载：
$$
\boxed{U_{\text{Th}}=U_{oc}}
$$
第二步：求等效电阻
独立源置零：
- 电压源短路；
- 电流源开路。
从端口看进去求：
$$
\boxed{R_{\text{Th}}}
$$
第三步：写等效电路
$$
\boxed{U_{\text{Th}}\text{ 串联 }R_{\text{Th}}}
$$
第四步：如需诺顿等效
$$
\boxed{I_N=\frac{U_{\text{Th}}}{R_{\text{Th}}}}
$$
$$
\boxed{R_N=R_{\text{Th}}}
$$
十二、特殊问题：使某电阻电流为零
若某电阻 $R$ 中电流为零：
$$
I_R=0
$$
由于：
$$
I_R=\frac{U_R}{R}
$$
当 $R\neq 0$ 时，必须有：
$$
\boxed{U_R=0}
$$
如果该电阻并联在端口 $a,b$ 间，则要求：
$$
\boxed{U_{ab}=0}
$$
可借助诺顿等效分析。
若原网络等效为：
$$
I_N \parallel R_N
$$
要使端口电压为零，则需要在端口并联一个大小相等、方向相反的理想电流源：
$$
\boxed{I=I_N}
$$
方向与原诺顿电流源相反。
十三、前面题目的典型结论
1. 叠加定理题
电压源、电流源共同作用
各源单独作用后求代数和：
$$
\boxed{I=I_1+I_2+I_3}
$$
结果可能为零，说明该支路无电流，但不代表无电压。
2. 含受控源叠加题
设：
$$
I_a=I_a’+I_a’’+I_a’’’
$$
若受控源为：
$$
6I_a
$$
则分电路中仍保留总量 $I_a$，最终通过方程求解。
3. 戴维南/诺顿等效题
题 4-15
等效为：
$$
\boxed{U_{\text{Th}}=48\text{ V}}
$$
$$
\boxed{R_{\text{Th}}=6\Omega}
$$
所以：
$$
\boxed{I_L=\frac{48}{R_L+6}}
$$
$$
\boxed{U_L=\frac{48R_L}{R_L+6}}
$$
$$
\boxed{P_L=\frac{48^2R_L}{(R_L+6)^2}}
$$
题 4-16
等效为：
$$
\boxed{U_{\text{Th}}=37.5\text{ V}}
$$
$$
\boxed{R_{\text{Th}}=10\Omega}
$$
最大功率时：
$$
\boxed{R=10\Omega}
$$
$$
\boxed{P_{\max}=35.16\text{ W}}
$$
十四、考试解题模板
模板 1：用叠加定理求电流/电压
- 标出所求量参考方向；
- 每次只保留一个独立源；
- 其余独立源置零：
$$
U源\to 短路,\quad I源\to 开路
$$ - 分别求响应：
$$
x_1,x_2,x_3
$$ - 按参考方向代数相加：
$$
x=x_1+x_2+x_3
$$
模板 2：求戴维南等效
- 断开负载，求：
$$
U_{\text{Th}}=U_{oc}
$$ - 将独立源置零，求：
$$
R_{\text{Th}}
$$ - 写出等效：
$$
U_{\text{Th}}\text{ 串联 }R_{\text{Th}}
$$
模板 3：求诺顿等效
- 先求戴维南等效；
- 利用：
$$
I_N=\frac{U_{\text{Th}}}{R_{\text{Th}}}
$$ - 并联电阻：
$$
R_N=R_{\text{Th}}
$$
模板 4：求负载功率最大
- 求电源侧戴维南等效：
$$
U_{\text{Th}},R_{\text{Th}}
$$ - 最大功率条件：
$$
R_L=R_{\text{Th}}
$$ - 最大功率：
$$
P_{\max}=\frac{U_{\text{Th}}^2}{4R_{\text{Th}}}
$$
十五、最常用公式汇总
$$
\boxed{I=\frac{U}{R}}
$$
$$
\boxed{P=UI=I^2R=\frac{U^2}{R}}
$$
$$
\boxed{R_{\text{串}}=R_1+R_2+\cdots}
$$
$$
\boxed{R_{\parallel}=\frac{R_1R_2}{R_1+R_2}}
$$
$$
\boxed{U_{\text{Th}}=U_{oc}}
$$
$$
\boxed{R_N=R_{\text{Th}}}
$$
$$
\boxed{I_N=\frac{U_{\text{Th}}}{R_{\text{Th}}}}
$$
$$
\boxed{I_L=\frac{U_{\text{Th}}}{R_{\text{Th}}+R_L}}
$$
$$
\boxed{U_L=\frac{U_{\text{Th}}R_L}{R_{\text{Th}}+R_L}}
$$
$$
\boxed{P_L=\frac{U_{\text{Th}}^2R_L}{(R_{\text{Th}}+R_L)^2}}
$$
$$
\boxed{R_L=R_{\text{Th}}\text{ 时 }P_L\text{ 最大}}
$$
$$
\boxed{P_{\max}=\frac{U_{\text{Th}}^2}{4R_{\text{Th}}}}
$$
十六、最终记忆口诀
叠加定理口诀
$$
\boxed{\text{电压源短，电流源断，受控源一般不能乱}}
$$
$$
\boxed{\text{电压电流能叠加，功率千万别相加}}
$$
戴维南口诀
$$
\boxed{\text{开路求电压，关源求电阻}}
$$
诺顿口诀
$$
\boxed{\text{诺顿电流等短流，也等戴压除戴阻}}
$$
最大功率口诀
$$
\boxed{\text{负载等内阻，功率取最大}}
$$
$$
\boxed{P_{\max}=\frac{U_{\text{Th}}^2}{4R_{\text{Th}}}}
$$
第五章 含有运算放大电路的电阻电路
一、理想运算放大器的两个基本原则
分析运放电路时，若运放工作在线性负反馈状态，可认为是理想运放。
1. 虚短
理想运放开环增益无穷大，因此在线性工作区有：
$$
u_+=u_-
$$
即同相输入端和反相输入端电压相等。
注意：虚短不是实际短路，只是电压相等。
2. 虚断
理想运放输入电阻无穷大，因此输入端电流为零：
$$
i_+=i_-=0
$$
即运放两个输入端不吸收电流。
二、分析运放电路的一般步骤
第一步：判断输入端电位
先看同相端或反相端是否接地。
若同相端接地，且电路有负反馈，则：
$$
u_+=0
$$
由虚短得：
$$
u_-=0
$$
此时反相端称为虚地点。
第二步：利用虚断列节点电流方程
由于运放输入端电流为零，所以接到输入端节点的电流代数和为零。
常用 KCL 形式：
$$
\sum i=0
$$
如果某节点电压为 $u_x$，它通过电阻 $R$ 接到电压 $u_a$，则该支路电流可写为：
$$
\frac{u_x-u_a}{R}
$$
如果用电导 $G$ 表示：
$$
i=G(u_x-u_a)
$$
第三步：代入虚短关系，化简求输出
将：
$$
u_+=u_-
$$
代入节点方程，即可求得输出电压与输入电压关系。
三、反相比例放大电路
1. 电路特点
- 输入信号通过电阻 $R_1$ 接到反相端；
- 同相端接地；
- 输出通过反馈电阻 $R_f$ 接回反相端。
2. 输出关系
因为反相端为虚地：
$$
u_-=0
$$
列 KCL：
$$
\frac{0-u_i}{R_1}+\frac{0-u_o}{R_f}=0
$$
整理得：
$$
u_o=-\frac{R_f}{R_1}u_i
$$
3. 结论
$$
\boxed{u_o=-\frac{R_f}{R_1}u_i}
$$
特点：
- 输出与输入反相；
- 放大倍数为：
$$
\left|\frac{u_o}{u_i}\right|=\frac{R_f}{R_1}
$$
四、反相加法运算电路
1. 电路特点
多个输入信号分别通过电阻接到反相端，同相端接地，输出通过反馈电阻接回反相端。
2. 输出关系
设输入为 $u_1,u_2,\cdots,u_n$，输入电阻分别为 $R_1,R_2,\cdots,R_n$，反馈电阻为 $R_f$。
反相端为虚地：
$$
u_-=0
$$
列 KCL：
$$
\frac{0-u_1}{R_1}
+\frac{0-u_2}{R_2}
+\cdots
+\frac{0-u_n}{R_n}
+\frac{0-u_o}{R_f}
=0
$$
整理得：
$$
u_o=-R_f\left(
\frac{u_1}{R_1}
+\frac{u_2}{R_2}
+\cdots
+\frac{u_n}{R_n}
\right)
$$
3. 两输入反相加法器
$$
\boxed{
u_o=-\frac{R_f}{R_1}u_1-\frac{R_f}{R_2}u_2
}
$$
4. 系数比较法
如果题目给出：
$$
u_o=-a u_1-b u_2
$$
而电路公式为：
$$
u_o=-\frac{R_f}{R_1}u_1-\frac{R_f}{R_2}u_2
$$
则比较系数：
$$
\frac{R_f}{R_1}=a
$$
$$
\frac{R_f}{R_2}=b
$$
所以：
$$
R_1=\frac{R_f}{a}
$$
$$
R_2=\frac{R_f}{b}
$$
五、同相比例放大电路
1. 电路特点
- 输入信号接同相端；
- 反相端通过电阻 $R_1$ 接地；
- 输出通过反馈电阻 $R_f$ 接到反相端。
2. 输出关系
由于虚短：
$$
u_-=u_+=u_i
$$
反相端为反馈分压点：
$$
u_-=\frac{R_1}{R_1+R_f}u_o
$$
所以：
$$
u_i=\frac{R_1}{R_1+R_f}u_o
$$
整理：
$$
u_o=\left(1+\frac{R_f}{R_1}\right)u_i
$$
3. 结论
$$
\boxed{
u_o=\left(1+\frac{R_f}{R_1}\right)u_i
}
$$
特点：
- 输出与输入同相；
- 放大倍数大于或等于 1。
六、减法运算电路，差动比例电路
1. 电路特点
减法电路可以实现两个输入信号的差值放大。
典型结构中：
- $u_1$ 通过电阻接反相端；
- 反相端有反馈电阻；
- $u_2$ 通过分压网络接同相端；
- 电阻比例匹配时可得到标准减法关系。
2. 常见对称结构
若反相支路为：
$$
R_1,\ R_2
$$
同相支路也对应为：
$$
R_1,\ R_2
$$
则有：
$$
u_+=\frac{R_2}{R_1+R_2}u_2
$$
由虚短：
$$
u_-=u_+=\frac{R_2}{R_1+R_2}u_2
$$
对反相端列 KCL：
$$
\frac{u_- - u_1}{R_1}+\frac{u_- - u_o}{R_2}=0
$$
整理后得：
$$
u_o=\frac{R_2}{R_1}(u_2-u_1)
$$
也可写为：
$$
u_o=-\frac{R_2}{R_1}(u_1-u_2)
$$
3. 结论
$$
\boxed{
u_o=\frac{R_2}{R_1}(u_2-u_1)
}
$$
或：
$$
\boxed{
u_o=-\frac{R_2}{R_1}(u_1-u_2)
}
$$
特点：
- 实现差值放大；
- 差模放大倍数为：
$$
\frac{R_2}{R_1}
$$
七、用电导表示的节点分析法
有些题目用电导 $G$ 表示元件。
1. 电导定义
$$
G=\frac{1}{R}
$$
单位为西门子，符号为 S。
2. 电阻支路电流
若电阻 $R$ 两端电压为 $u_a,u_b$，从 $a$ 点流向 $b$ 点电流为：
$$
i=\frac{u_a-u_b}{R}
$$
3. 电导支路电流
用电导表示则为：
$$
i=G(u_a-u_b)
$$
4. 节点方程通用写法
对节点 $u_x$，若它通过多个电导 $G_k$ 接到不同节点 $u_k$，则：
$$
\sum G_k(u_x-u_k)=0
$$
例如：
$$
G_1(u_x-u_1)+G_2(u_x-u_2)+G_3(u_x-u_3)=0
$$
八、含多反馈支路的运放分析方法
有些运放反相端可能同时接多个反馈支路，例如既接本级输出，又接后级输出。
分析方法仍然不变：
- 判断反相端是否为虚地；
- 对反相端列 KCL；
- 把相关输出之间的关系代入；
- 解出总输出与输入关系。
例：反相端接三个支路
若反相端为虚地，并通过 $R_1$ 接输入 $u_1$，通过 $R_2$ 接中间输出 $u_x$，通过 $R_3$ 接最终输出 $u_o$，则有：
$$
\frac{0-u_1}{R_1}
+
\frac{0-u_x}{R_2}
+
\frac{0-u_o}{R_3}
=0
$$
即：
$$
\frac{u_1}{R_1}
+\frac{u_x}{R_2}
+\frac{u_o}{R_3}=0
$$
如果后级满足：
$$
u_o=Ku_x
$$
则：
$$
u_x=\frac{u_o}{K}
$$
代入即可求：
$$
\frac{u_o}{u_1}
$$
九、两级运放电路分析思路
对于多个运放组成的电路，一般按以下步骤分析。
1. 给中间节点命名
例如把第一级输出记为：
$$
u_x
$$
最终输出记为：
$$
u_o
$$
2. 分别写出每一级关系
第一级可能是反相比例、加法、节点反馈结构。
第二级可能是同相放大、反相放大、电压跟随等。
3. 联立方程求解
若第二级输出与第一级输出关系为：
$$
u_o=Ku_x
$$
再把它代入第一级的节点方程。
4. 常见后级同相放大关系
若第二级为同相比例放大器：
$$
u_o=\left(1+\frac{R_5}{R_4}\right)u_x
$$
令：
$$
K=1+\frac{R_5}{R_4}
$$
则可简化运算。
十、本组题涉及的重要公式汇总
1. 理想运放基本关系
$$
\boxed{u_+=u_-}
$$
$$
\boxed{i_+=i_-=0}
$$
2. 反相比例放大
$$
\boxed{
u_o=-\frac{R_f}{R_1}u_i
}
$$
3. 反相加法器
$$
\boxed{
u_o=-R_f\left(
\frac{u_1}{R_1}+\frac{u_2}{R_2}
+\cdots
+\frac{u_n}{R_n}
\right)
}
$$
两输入时：
$$
\boxed{
u_o=-\frac{R_f}{R_1}u_1-\frac{R_f}{R_2}u_2
}
$$
4. 同相比例放大
$$
\boxed{
u_o=\left(1+\frac{R_f}{R_1}\right)u_i
}
$$
5. 差动比例减法电路
$$
\boxed{
u_o=\frac{R_2}{R_1}(u_2-u_1)
}
$$
或：
$$
\boxed{
u_o=-\frac{R_2}{R_1}(u_1-u_2)
}
$$
6. 电导形式支路电流
$$
\boxed{
i=G(u_a-u_b)
}
$$
7. 图 5-3 结果
$$
\boxed{
\frac{u_2}{u_1}
-\frac{G_1G_4}
{G_3(G_1+G_2+G_4+G_5)+G_4G_5}
}
$$
8. 图 5-4 结果
$$
\boxed{
\frac{u_o}{u_1}
-\frac{\left(1+\frac{R_5}{R_4}\right)R_2R_3}
{R_1\left[R_3+\left(1+\frac{R_5}{R_4}\right)R_2\right]}
}
$$
等价形式：
$$
\boxed{
\frac{u_o}{u_1}
-\frac{R_2R_3(R_4+R_5)}
{R_1\left[R_4R_3+R_2(R_4+R_5)\right]}
}
$$
十一、易错点总结
1. 虚短不等于短路
虚短表示：
$$
u_+=u_-
$$
但两个输入端之间没有实际电流流过。
2. 虚地不等于真实接地
若同相端接地，则反相端电压为 0，称为虚地。
但虚地点不能真正当作导线接地，因为它不能向地提供电流通路。
3. 列 KCL 时符号要统一
常用写法：
$$
\sum \frac{u_{\text{节点}}-u_{\text{相邻}}}{R}=0
$$
或：
$$
\sum G(u_{\text{节点}}-u_{\text{相邻}})=0
$$
只要方向统一，结果就不会错。
4. 同相放大倍数不要写错
同相比例放大器是：
$$
1+\frac{R_f}{R_1}
$$
不是：
$$
-\frac{R_f}{R_1}
$$
5. 反相放大一定带负号
反相比例、反相加法通常有负号：
$$
u_o=-\frac{R_f}{R_1}u_i
$$
负号表示输出与输入相位相反。
6. 减法电路要注意谁减谁
对于图 5-2 的结构：
$$
u_o=\frac{R_2}{R_1}(u_2-u_1)
$$
若题目要求写成 $u_1-u_2$，则为：
$$
u_o=-\frac{R_2}{R_1}(u_1-u_2)
$$
7. 多级运放要先设中间变量
例如设：
$$
u_x=\text{第一级输出}
$$
再建立：
$$
u_o=Ku_x
$$
这样可以避免混乱。
十二、考试快速解题口诀
$$
\boxed{\text{先看接地找虚地，虚断列 KCL，虚短代电位，最后化比例。}}
$$
具体为：
- 看同相端是否接地；
- 若接地，反相端为虚地；
- 运放输入端不进电流；
- 对反相端或关键节点列 KCL；
- 多级电路设中间输出；
- 代入化简求电压比。
十三、最终记忆版
理想运放两原则
$$
u_+=u_-,\qquad i_+=i_-=0
$$
反相比例
$$
u_o=-\frac{R_f}{R_1}u_i
$$
反相加法
$$
u_o=-R_f\sum \frac{u_k}{R_k}
$$
同相比例
$$
u_o=\left(1+\frac{R_f}{R_1}\right)u_i
$$
减法电路
$$
u_o=\frac{R_2}{R_1}(u_2-u_1)
$$
电导节点电流
$$
i=G(u_a-u_b)
$$
节点方程核心
$$
\sum G(u_x-u_k)=0
$$
或：
$$
\sum \frac{u_x-u_k}{R_k}=0
$$
记住这些，就能处理本组题中的反相加法、减法、电导网络、多级反馈运放电路。
第六章 储能元件
6.1 电容元件
电容电流与电压关系
电容元件满足：
$$i=C\frac{du}{dt}$$
其中：
- $i$：电容电流，单位 A。
- $u$：电容电压，单位 V。
- $C$：电容，单位 F。
前提：电流参考方向流入电容电压的正端，即关联参考方向。
由电流求电压
由 $i=C\dfrac{du}{dt}$ 可得：
$$du=\frac{1}{C}i,dt$$
所以：
$$u(t)=u(t_0)+\frac{1}{C}\int_{t_0}^{t}i(\tau)d\tau$$
常用形式：
$$u(t)=u(0)+\frac{1}{C}\int_0^t i(\tau)d\tau$$
面积法求电容电压变化量
因为：
$$\Delta u=\frac{1}{C}\int i(t)dt$$
所以电容电压变化量等于电流时间图像面积除以电容：
$$\Delta u=\frac{\text{电流波形面积}}{C}$$
注意：
- 电流为正，电容电压升高。
- 电流为负，电容电压降低。
- 电流图像在时间轴上方，面积为正。
- 电流图像在时间轴下方，面积为负。
电容电压不能突变
因为：
$$i=C\frac{du}{dt}$$
若电容电压突然变化，则 $\dfrac{du}{dt}$ 会趋于无穷大，意味着需要无限大的电流，这在实际电路中不可能。
因此：
$$\boxed{\text{电容电压不能突变}}$$
但电容电流可以突变。
6.2 电感元件
电感电压与电流关系
电感元件满足：
$$u=L\frac{di}{dt}$$
其中：
- $u$：电感电压，单位 V。
- $i$：电感电流，单位 A。
- $L$：电感，单位 H。
前提：电流参考方向流入电感电压的正端，即关联参考方向。
由电流波形求电感电压
若已知电感电流 $i(t)$，则：
$$u=L\frac{di}{dt}$$
也就是说，电感电压与电流变化快慢有关。
- 电流上升：$\dfrac{di}{dt}>0$，电感电压为正。
- 电流下降：$\dfrac{di}{dt}<0$，电感电压为负。
- 电流不变：$\dfrac{di}{dt}=0$，电感电压为零。
线性电流对应恒定电压
如果电感电流是线性变化的，则斜率 $\dfrac{di}{dt}$ 是常数，因此电感电压也是常数：
$$u=L\frac{\Delta i}{\Delta t}$$
例如电流从 $0$ 增加到 $1.2A$，时间为 $60\mu s$，电感 $L=0.01H$，则：
$$u=0.01\times \frac{1.2}{60\times 10^{-6}}$$
电感电流不能突变
因为：
$$u=L\frac{di}{dt}$$
若电感电流突然变化，则 $\dfrac{di}{dt}$ 会趋于无穷大，意味着需要无限大的电压，这在实际电路中不可能。
因此：
$$\boxed{\text{电感电流不能突变}}$$
但电感电压可以突变。
6.3 电容与电感的对偶关系
| 元件 | 基本公式 | 不能突变的量 | 可突变的量 |
|---|---|---|---|
| 电容 | $i=C\dfrac{du}{dt}$ | 电压 $u$ | 电流 $i$ |
| 电感 | $u=L\dfrac{di}{dt}$ | 电流 $i$ | 电压 $u$ |
记忆方法：
$$\boxed{\text{电容保电压，电感保电流}}$$
6.4 电容与电感的串并联等效
电容并联
若多个电容接在同一对节点之间，则为并联。并联等效电容为：
$$C_{\text{eq}}=C_1+C_2+\cdots+C_n$$
两个电容并联：
$$C_{\text{eq}}=C_1+C_2$$
特点：
- 并联电容电压相同。
- 总电荷为各电容电荷之和。
- 等效电容变大。
电容串联
若多个电容首尾相接，中间节点没有其他支路，则为串联。串联等效电容为：
$$\frac{1}{C_{\text{eq}}}=\frac{1}{C_1}+\frac{1}{C_2}+\cdots+\frac{1}{C_n}$$
两个电容串联：
$$C_{\text{eq}}=\frac{C_1C_2}{C_1+C_2}$$
特点：
- 串联电容电荷相同。
- 总电压为各电容电压之和。
- 等效电容小于任意一个串联电容。
电容串并联记忆
电容规律与电阻相反：
| 连接方式 | 电容等效规律 |
|---|---|
| 并联 | 直接相加 |
| 串联 | 倒数相加 |
电感串联
无互感时，电感串联直接相加：
$$L_{\text{eq}}=L_1+L_2+\cdots+L_n$$
两个电感串联：
$$L_{\text{eq}}=L_1+L_2$$
特点：
- 串联电感电流相同。
- 总电压为各电感电压之和。
- 等效电感变大。
电感并联
无互感时，电感并联倒数相加：
$$\frac{1}{L_{\text{eq}}}=\frac{1}{L_1}+\frac{1}{L_2}+\cdots+\frac{1}{L_n}$$
两个电感并联：
$$L_{\text{eq}}=\frac{L_1L_2}{L_1+L_2}$$
特点：
- 并联电感电压相同。
- 总电流为各电感电流之和。
- 等效电感小于任意一个并联电感。
电感串并联记忆
电感规律与电阻相同：
| 连接方式 | 电感等效规律 |
|---|---|
| 串联 | 直接相加 |
| 并联 | 倒数相加 |
6.5 波形题常用解法
已知电容电流，求电容电压
使用：
$$u(t)=u(0)+\frac{1}{C}\int_0^t i(t)dt$$
解题步骤：
- 看电流波形。
- 分段求面积。
- 面积除以电容 $C$。
- 加上初始电压。
- 注意电流为负时电压下降。
常用面积公式：
$$S_{\text{三角形}}=\frac{1}{2}\times 底 \times 高$$
$$S_{\text{矩形}}=底\times 高$$
$$S_{\text{梯形}}=\frac{上底+下底}{2}\times 高$$
已知电感电流，求电感电压
使用：
$$u=L\frac{di}{dt}$$
解题步骤：
- 看电流波形。
- 分段求斜率。
- 斜率乘以电感 $L$。
- 电流上升，电压为正。
- 电流下降，电压为负。
- 电流不变，电压为零。
斜率公式：
$$\frac{di}{dt}=\frac{\Delta i}{\Delta t}$$
所以：
$$u=L\frac{\Delta i}{\Delta t}$$
6.6 周期性电感电流的重要结论
若电感电流是周期性波形，则经过一个周期后电流回到原值。由：
$$u=L\frac{di}{dt}$$
可得：
$$\int_0^T u(t)dt=L[i(T)-i(0)]$$
由于周期性：
$$i(T)=i(0)$$
所以：
$$\int_0^T u(t)dt=0$$
即：
$$\boxed{\text{电感在一个周期内的电压面积代数和为零}}$$
也叫伏秒平衡。
6.7 单位换算
常用单位：
$$1,\text{ms}=10^{-3},\text{s}$$
$$1,\mu s=10^{-6},\text{s}$$
电容单位：
$$1,\text{F}=1,\frac{\text{C}}{\text{V}}$$
电感单位：
$$1,\text{H}=1,\frac{\text{V}\cdot \text{s}}{\text{A}}$$
电压单位：
$$1,\text{V}=1,\frac{\text{J}}{\text{C}}$$
电流单位：
$$1,\text{A}=1,\frac{\text{C}}{\text{s}}$$
6.8 易错点总结
电容和电感公式不要混淆
电容：
$$i=C\frac{du}{dt}$$
电感：
$$u=L\frac{di}{dt}$$
记忆：
$$\boxed{\text{电容看电压变化，电感看电流变化}}$$
电容并联、电感串联都是直接相加
$$C_{\text{并}}=C_1+C_2$$
$$L_{\text{串}}=L_1+L_2$$
电容串联、电感并联都是倒数相加
$$\frac{1}{C_{\text{串}}}=\frac{1}{C_1}+\frac{1}{C_2}$$
$$\frac{1}{L_{\text{并}}}=\frac{1}{L_1}+\frac{1}{L_2}$$
电容电压连续，电感电流连续
$$\boxed{\text{电容电压不能突变}}$$
$$\boxed{\text{电感电流不能突变}}$$
求波形时一定要分段
只要波形发生转折、跳变或斜率改变，就要分段计算。
例如：
- $0\sim 2s$
- $2\sim 4s$
- $0\sim 60\mu s$
- $60\sim 64\mu s$
6.9 典型结论汇总
电容题
已知 $i(t)$，求 $u(t)$：
$$u(t)=u(0)+\frac{1}{C}\int_0^t i(t)dt$$
电压变化量：
$$\Delta u=\frac{\text{电流时间面积}}{C}$$
电感题
已知 $i(t)$，求 $u(t)$：
$$u=L\frac{di}{dt}$$
若电流线性变化：
$$u=L\frac{\Delta i}{\Delta t}$$
等效电容
$$C_{\text{并}}=C_1+C_2+\cdots$$
$$\frac{1}{C_{\text{串}}}=\frac{1}{C_1}+\frac{1}{C_2}+\cdots$$
等效电感
$$L_{\text{串}}=L_1+L_2+\cdots$$
$$\frac{1}{L_{\text{并}}}=\frac{1}{L_1}+\frac{1}{L_2}+\cdots$$
6.10 最核心记忆口诀
$$\boxed{\text{电容：并加串倒，电压不能跳}}$$
$$\boxed{\text{电感：串加并倒，电流不能跳}}$$
$$\boxed{\text{电容由电流积分求电压}}$$
$$\boxed{\text{电感由电流求导得电压}}$$
$$\boxed{\text{电容看面积，电感看斜率}}$$
第七章 一阶动态电路与运放动态电路
7.1 换路定律
电容电压不能突变
电容关系：
$$i_C=C\frac{du_C}{dt}$$
若电容电压 $u_C$ 突变，则 $\dfrac{du_C}{dt}$ 无穷大，需要无穷大电流，实际电路不允许。
因此：
$$\boxed{u_C(0^+)=u_C(0^-)}$$
若题目说“电容无初始储能”，则：
$$\boxed{u_C(0^-)=0,\qquad u_C(0^+)=0}$$
电感电流不能突变
电感关系：
$$u_L=L\frac{di_L}{dt}$$
若电感电流 $i_L$ 突变，则 $\dfrac{di_L}{dt}$ 无穷大，需要无穷大电压，实际电路不允许。
因此：
$$\boxed{i_L(0^+)=i_L(0^-)}$$
若题目说“电感无初始储能”，则：
$$\boxed{i_L(0^-)=0,\qquad i_L(0^+)=0}$$
7.2 直流稳态下储能元件的等效
在直流稳态 $t\to\infty$ 或换路前已稳定时：
电容等效为开路
$$\boxed{C\rightarrow \text{开路}}$$
因为直流稳态下：
$$\frac{du_C}{dt}=0$$
所以：
$$i_C=C\frac{du_C}{dt}=0$$
电感等效为短路
$$\boxed{L\rightarrow \text{短路}}$$
因为直流稳态下：
$$\frac{di_L}{dt}=0$$
所以：
$$u_L=L\frac{di_L}{dt}=0$$
7.3 一阶电路三要素法
适用条件
三要素法适用于一阶电路，即只有一个独立储能变量。
常见情况：
- 一个电容。
- 一个电感。
- 多个电容可等效成一个电容。
- 多个电感可等效成一个电感。
- 虽有多个储能元件，但只有一个独立状态变量。
一阶响应通式
对电容电压、电感电流等状态变量 $x(t)$：
$$\boxed{x(t)=x(\infty)+[x(0^+)-x(\infty)]e^{-t/\tau}}$$
其中三要素为：
$$\boxed{x(0^+)}$$
$$\boxed{x(\infty)}$$
$$\boxed{\tau}$$
电容电路时间常数
对于一阶 RC 电路：
$$\boxed{\tau=R_{\text{eq}}C}$$
其中 $R_{\text{eq}}$ 是从电容两端看进去的等效电阻。
电感电路时间常数
对于一阶 RL 电路：
$$\boxed{\tau=\frac{L}{R_{\text{eq}}}}$$
其中 $R_{\text{eq}}$ 是从电感两端看进去的等效电阻。
7.4 求等效电阻 $R_{\text{eq}}$ 的方法
求时间常数时，必须求储能元件看到的等效电阻。
独立源置零
独立电压源置零：
$$\boxed{\text{电压源短路}}$$
独立电流源置零：
$$\boxed{\text{电流源开路}}$$
受控源不能置零
如果电路中有受控源：
$$\boxed{\text{受控源必须保留}}$$
因为受控源的值由电路变量控制，不能像独立源那样关掉。
含受控源时求 $R_{\text{eq}}$
常用测试源法：在端口加测试电压 $V$，求测试电流 $I$，则：
$$\boxed{R_{\text{eq}}=\frac{V}{I}}$$
或者加测试电流 $I$，求端口电压 $V$：
$$\boxed{R_{\text{eq}}=\frac{V}{I}}$$
7.5 分段输入的一阶电路处理
当输入是矩形脉冲、分段常数等波形时，要分段使用三要素法或微分方程。
例如：
$$u(t)=\begin{cases}2, & 0\le t<1\0, & t\ge 1\end{cases}$$
处理步骤：
第一段 $0\le t<1$：用 $t=0^+$ 的初始值。
求出 $t=1^-$ 的状态值。
利用换路定律：
$$x(1^+)=x(1^-)$$
第二段 $t\ge 1$：以 $t=1^+$ 为新的初始值继续求。
第二段常写成：
$$\boxed{x(t)=x(\infty)+[x(1^+)-x(\infty)]e^{-(t-1)/\tau}}$$
7.6 节点法列微分方程
对于含储能元件的电路，常用节点电压法列方程。
电阻电流
若电阻两端电压分别为 $u_a,u_b$，电流从 $a$ 到 $b$：
$$\boxed{i_R=\frac{u_a-u_b}{R}}$$
电容电流
若电容电压 $u_C$ 按电流流入正端定义：
$$\boxed{i_C=C\frac{du_C}{dt}}$$
电感电压
若电感电流 $i_L$ 流入电压正端：
$$\boxed{u_L=L\frac{di_L}{dt}}$$
KCL 常用形式
节点电流方程：
$$\boxed{\text{流入节点电流}=\text{流出节点电流}}$$
或统一写成代数形式：
$$\boxed{\sum i=0}$$
只要方向前后一致即可。
7.7 RL 一阶电路直接列方程例型
例如输入电压 $u(t)$，串联 $2\Omega$ 后接 $3\Omega\parallel L$。
设并联节点电压为 $v(t)$，电感电流 $i_L$ 向下为正。
KCL：
$$\frac{u-v}{2}=\frac{v}{3}+i_L$$
电感关系：
$$v=L\frac{di_L}{dt}$$
若 $L=1\text{H}$，则：
$$v=\frac{di_L}{dt}$$
代入得到：
$$\boxed{5\frac{di_L}{dt}+6i_L=3u(t)}$$
标准形式：
$$\boxed{\frac{di_L}{dt}+\frac{6}{5}i_L=\frac{3}{5}u(t)}$$
若 $u(t)=2$，稳态：
$$i_L(\infty)=1\text{A}$$
时间常数：
$$\tau=\frac{5}{6}\text{s}$$
7.8 含受控源的一阶 RC 电路
对于含受控源的电容电路，也可以用三要素法。
关键：
$$\boxed{\tau=R_{\text{eq}}C}$$
但求 $R_{\text{eq}}$ 时：
$$\boxed{\text{受控源不能关掉}}$$
要用测试源法。
例如某题中求得：
$$R_{\text{eq}}=7\Omega$$
电容：
$$C=3\mu F$$
所以：
$$\boxed{\tau=7\times 3\mu F=21\mu s}$$
一阶响应：
$$u_C(t)=u_C(\infty)+[u_C(0^+)-u_C(\infty)]e^{-t/\tau}$$
若：
$$u_C(0^+)=0,\qquad u_C(\infty)=2V$$
则：
$$\boxed{u_C(t)=2\left(1-e^{-t/(21\mu s)}\right)}$$
7.9 二阶电路不能直接用普通三要素法
普通三要素法只适用于一阶电路
一阶电路响应：
$$\boxed{x(t)=x(\infty)+Ae^{-t/\tau}}$$
只有一个指数项、一个时间常数。
两个独立储能元件通常是二阶电路
若电路中有两个独立电感或电容，例如：
$$i_1(t),\quad i_2(t)$$
且它们不能串并联等效，则有两个独立状态变量，是二阶电路。
二阶响应形式
二阶电路一般为：
$$\boxed{x(t)=x(\infty)+A e^{s_1t}+B e^{s_2t}}$$
有两个指数项。
例如：
$$\boxed{i_1(t)=4-\frac{3}{2}e^{-t}+\frac{1}{2}e^{-3t}}$$
它含有：
$$e^{-t},\qquad e^{-3t}$$
所以不能用普通三要素法直接求。
7.10 两个电感什么时候能用三要素法
两个电感不一定绝对不能用三要素法。
可以用的情况
如果两个电感串联，且电流相同：
$$L_{\text{eq}}=L_1+L_2$$
可以等效成一个电感。
如果两个电感并联，且满足等效条件：
$$\frac{1}{L_{\text{eq}}}=\frac{1}{L_1}+\frac{1}{L_2}$$
也可能化为一阶。
不能用的情况
如果两个电感电流不同，且没有固定关系：
$$i_1(t),\quad i_2(t)$$
则是两个独立状态变量，通常必须列状态方程或二阶微分方程。
7.11 理想运算放大器知识点
虚短
理想运放在线性负反馈下：
$$\boxed{u_+=u_-}$$
若同相端接地，则：
$$\boxed{u_-=0}$$
称为虚地。
虚断
理想运放输入电流为零：
$$\boxed{i_+=i_-=0}$$
所以输入支路电流不会进入运放，只能流入反馈支路。
7.12 反相运放 RC 反馈电路
若反相输入端通过 $R_1$ 接输入 $u_i$，反馈支路为：
$$R_2\parallel C_2$$
则反馈阻抗：
$$Z_f=R_2\parallel \frac{1}{sC_2}$$
$$Z_f=\frac{R_2}{1+sR_2C_2}$$
理想反相放大器传递函数：
$$\boxed{\frac{U_o(s)}{U_i(s)}=-\frac{Z_f}{R_1}}$$
所以：
$$\boxed{\frac{U_o(s)}{U_i(s)}=-\frac{R_2}{R_1}\frac{1}{1+sR_2C_2}}$$
时间常数：
$$\boxed{\tau=R_2C_2}$$
7.13 反相运放 RC 电路微分方程
由虚地：
$$i_1=\frac{u_i}{R_1}$$
反馈电阻电流：
$$i_R=-\frac{u_o}{R_2}$$
反馈电容电压：
$$u_C=-u_o$$
电容电流：
$$i_C=C_2\frac{d(-u_o)}{dt}=-C_2\frac{du_o}{dt}$$
KCL：
$$i_1=i_R+i_C$$
所以：
$$\frac{u_i}{R_1}=-\frac{u_o}{R_2}-C_2\frac{du_o}{dt}$$
整理：
$$\boxed{R_2C_2\frac{du_o}{dt}+u_o=-\frac{R_2}{R_1}u_i}$$
7.14 阶跃输入响应
若：
$$u_i=U\varepsilon(t)$$
且电容初始电压为零，则：
$$u_o(0^+)=0$$
稳态时：
$$u_o(\infty)=-\frac{R_2}{R_1}U$$
所以：
$$\boxed{u_o(t)=-\frac{R_2}{R_1}U\left(1-e^{-t/(R_2C_2)}\right)\varepsilon(t)}$$
7.15 冲激输入响应
若：
$$u_i=\delta(t)$$
由传递函数：
$$H(s)=-\frac{R_2}{R_1}\frac{1}{1+sR_2C_2}$$
因为：
$$U_i(s)=1$$
所以：
$$U_o(s)=H(s)$$
反变换：
$$\boxed{u_o(t)=-\frac{1}{R_1C_2}e^{-t/(R_2C_2)}\varepsilon(t)}$$
7.16 冲激输入下的跳变理解
对微分方程：
$$\tau\frac{du_o}{dt}+u_o=-\frac{R_2}{R_1}\delta(t)$$
在 $0^-$ 到 $0^+$ 积分：
$$\tau[u_o(0^+)-u_o(0^-)]= -\frac{R_2}{R_1}$$
若：
$$u_o(0^-)=0$$
则：
$$u_o(0^+)=-\frac{R_2}{R_1\tau}$$
又：
$$\tau=R_2C_2$$
所以：
$$\boxed{u_o(0^+)=-\frac{1}{R_1C_2}}$$
之后按自然响应衰减：
$$\boxed{u_o(t)=u_o(0^+)e^{-t/(R_2C_2)}}$$
7.17 常见易错点总结
电容初始电压不能乱改
$$\boxed{u_C(0^+)=u_C(0^-)}$$
不是电容电流不变。
电感初始电流不能乱改
$$\boxed{i_L(0^+)=i_L(0^-)}$$
不是电感电压不变。
求时间常数时受控源不能关掉
$$\boxed{\text{受控源保留}}$$
独立源才置零。
电感方向、电容电压极性要统一
若电流方向与题图相反，最后答案要加负号。
分段输入要分段求解
特别是矩形脉冲：
$$0\le t<1,\qquad t\ge 1$$
不能只用一个公式从头套到尾。
二阶电路不要硬套普通三要素法
如果结果应该有两个指数项：
$$Ae^{s_1t}+Be^{s_2t}$$
却硬写成一个指数项：
$$Ae^{-t/\tau}$$
一定会错。
7.18 做题通用流程
一阶 RC/RL 电路
判断储能元件类型。
求初始值：
$$x(0^+)=x(0^-)$$
求终值：$t\to\infty$，电容开路，电感短路。
求时间常数：
$$\tau=R_{\text{eq}}C$$
或：
$$\tau=\frac{L}{R_{\text{eq}}}$$
套公式：
$$x(t)=x(\infty)+[x(0^+)-x(\infty)]e^{-t/\tau}$$
含多个储能元件电路
判断储能变量是否独立。
若只有一个独立变量，可等效为一阶。
若有两个独立变量，列状态方程：
$$\frac{dx_1}{dt}=a_{11}x_1+a_{12}x_2+f_1$$
$$\frac{dx_2}{dt}=a_{21}x_1+a_{22}x_2+f_2$$
求特征根。
用初始条件确定系数。
运放动态电路
理想运放用：
$$u_+=u_-,\qquad i_+=i_-=0$$
若同相端接地，则反相端为虚地。
对反相端列 KCL。
写出微分方程或传递函数。
根据输入类型求响应。
7.19 最核心记忆版
$$\boxed{u_C(0^+)=u_C(0^-)}$$
$$\boxed{i_L(0^+)=i_L(0^-)}$$
$$\boxed{C稳态开路,\quad L稳态短路}$$
$$\boxed{x(t)=x(\infty)+[x(0^+)-x(\infty)]e^{-t/\tau}}$$
$$\boxed{\tau_{RC}=R_{\text{eq}}C}$$
$$\boxed{\tau_{RL}=\frac{L}{R_{\text{eq}}}}$$
$$\boxed{\text{受控源不能置零}}$$
$$\boxed{\text{两个独立储能变量}\Rightarrow\text{二阶，不能普通三要素法}}$$
$$\boxed{u_+=u_-,\quad i_+=i_-=0}$$
$$\boxed{\frac{U_o(s)}{U_i(s)}=-\frac{R_2}{R_1}\frac{1}{1+sR_2C_2}}$$