信号与系统

第一章 信号与系统导论

1.1 信号的分类

确定信号与随机信号

• 确定信号：任一由确定时间函数描述的信号。
• 随机信号：信号是时间的随机函数。

周期信号与非周期信号

• 连续周期信号的数学表达式：

  $$f(t) = f(t + nT), \quad n = \pm1, \pm2, \pm3, \cdots, \quad -\infty < t < \infty$$

• 离散周期信号的数学表达式：

  $$f(k) = f(k + nN), \quad n = \pm1, \pm2, \pm3, \cdots, \quad -\infty < k < \infty$$

  其中，$k$ 取整数。连续周期信号的自变量 $t$ 是连续时间变量，离散周期信号的自变量 $k$ 是离散整数变量。

连续时间信号与离散时间信号

• 连续时间信号：在某个时间区间内，除了有限个间断点外都有定义的信号。
• 离散时间信号：仅在离散时刻点上有定义的信号。

因果信号与非因果信号

• 因果信号：信号 $f(t)$ 在 $t < 0$ 时有 $f(t) = 0$。
• 非因果信号：不满足因果信号定义的信号。

根据频段分类

1.2 信号与系统的关系

1. 在工程实际中，信号通常由系统产生、传输与接收，二者相辅相成。
2. 系统的重要功能之一是对信号进行加工、变换与处理；信号是系统处理的客体与媒介。

1.3 系统的分类

线性系统与非线性系统

• 线性系统：若 $f_1(t) \to y_1(t)$，$f_2(t) \to y_2(t)$，则对于任意常数 $a_1$ 和 $a_2$，有 $a_1f_1(t) + a_2f_2(t) \to a_1y_1(t) + a_2y_2(t)$。
  判断一个连续/离散时间系统是否为线性系统，通常在零状态条件下，如果其描述方程为线性代数方程、线性微分方程或差分方程，则系统是线性的。在非零初始状态下，系统可能不再满足严格的线性（即可加性与齐次性）。信号通过线性时不变（LTI）系统后不会产生新的频率分量。
• 非线性系统：不满足上述齐次性和可加性的系统。

时不变系统与时变系统

• 时不变系统：系统的元件参数不随时间变化，或系统的方程为常系数；否则为时变系统。时不变性可表示为：若 $f(t) \to y(t)$，则 $f(t - t_0) \to y(t - t_0)$。

因果系统与非因果系统

• 因果系统：在激励信号作用之前，系统不产生响应。如果系统的输出 $y(t)$ 只取决于某个时刻以及该时刻以前的输入，则它是因果系统，如 $e(t)$、$e(t - 1)$、$e(t - 2)$ 等。
• 非因果系统：如果系统的输出 $y(t)$ 不仅取决于现在和过去的输入，而且还取决于未来的输入，则它是非因果系统，如 $e(t + 1)$、$e(t + 2)$ 等。这在时间上违背了因果规律。

1.4 常用基本信号

直流信号

• 直流信号：$f(t) = A$，$-\infty < t < \infty$，即在整个时间轴上恒为常数的双边信号。若仅在 $t \ge 0$ 时有定义，则常表示为 $A u(t)$。

正弦信号

• 正弦信号：$f(t) = K \sin(\omega t + \theta)$。
• 振幅：$K$。
• 周期：$T = \dfrac{2\pi}{\omega}$。
• 频率：$f = \dfrac{1}{T}$。
• 角频率：$\omega = 2\pi f$。

单位阶跃信号

（注：本笔记中，单位阶跃信号的符号 $u(t)$ 与 $\varepsilon(t)$ 等价，均代表单位阶跃函数。）

斜坡信号

矩形脉冲信号

三角脉冲信号

欧拉公式

欧拉（Euler）公式：

$$e^{j\omega t} = \cos(\omega t) + j\sin(\omega t)$$

$$e^{-j\omega t} = \cos(\omega t) - j\sin(\omega t)$$

$$\sin(\omega t) = \frac{1}{2j}\left(e^{j\omega t} - e^{-j\omega t}\right)$$

$$\cos(\omega t) = \frac{1}{2}\left(e^{j\omega t} + e^{-j\omega t}\right)$$

取样函数

单位冲激信号

定义

$$\delta(t) = 0, \quad t \ne 0$$

$$\int_{-\infty}^{+\infty} \delta(t),dt = 1$$

在数学上，单位冲激信号是一个广义函数（或分布），通常通过其对测试函数的积分性质（即抽样性）来定义。上述经典定义属于直观描述：

• 它的函数值仅在 $t = 0$ 时不为零。
• 当 $t = 0$ 时，其强度趋于无穷大，属于无界函数。
• 整个时间轴上的积分面积恒为 1。

与单位阶跃信号的关系

冲激信号的性质

抽样性（筛选性）

冲激偶

第二章 连续系统的时域分析

2.1 线性时不变系统描述及其响应

系统的微分方程

零输入响应与零状态响应

零输入响应

从观察的初始时刻（例如 $t = 0$）起不再施加输入信号（即零输入），仅由该时刻系统本身的起始储能状态引起的响应称为零输入响应（ZIR）。

零状态响应

当系统的储能状态为零时，由外加激励信号（输入）产生的响应称为零状态响应（ZSR）。

完全响应

完全响应 = 零输入响应（ZIR）+ 零状态响应（ZSR）

2.2 阶跃响应与冲激响应

单位阶跃信号

标准一阶线性微分方程求法

对于标准一阶线性微分方程：

$$y’(t) + P(t)y(t) = Q(t)$$

在起始时刻为 $0^-$ 且初始状态为 0（即 $y(0^-) = 0$）的条件下，其零状态响应（或特解）可以通过积分因子法表示为：

$$y(t) = \int_{0^-}^{t} Q(\tau) e^{-\int_{\tau}^{t} P(\eta),d\eta},d\tau$$

如果 $P(t) = a$ 为常数，则简化为：

$$y(t) = e^{-at} \int_{0^-}^{t} Q(\tau)e^{a\tau},d\tau$$

常系数二阶微分方程求法

一般形式：

$$ay’’(t) + by’(t) + cy(t) = f(t)$$

求解步骤：

1. 先求齐次方程：

   $$ay’’(t) + by’(t) + cy(t) = 0$$

2. 写出特征方程：

   $$ar^2 + br + c = 0$$

3. 根据特征根确定齐次解：

   • 若有两个不相等实根 $r_1$、$r_2$：

     $$y_h(t) = C_1e^{r_1t} + C_2e^{r_2t}$$

   • 若有两个相等实根 $r$：

     $$y_h(t) = (C_1 + C_2t)e^{rt}$$

   • 若有一对共轭复根 $r = \alpha \pm j\beta$：

     $$y_h(t) = e^{\alpha t}\left(C_1\cos \beta t + C_2\sin \beta t\right)$$

4. 求特解 $y_p(t)$。

5. 写出完全解：

   $$y(t) = y_h(t) + y_p(t)$$

6. 代入初始条件，确定常数 $C_1$、$C_2$。

2.3 卷积及其应用

卷积的定义

卷积的通用定义式为：

$$y(t) = f_1(t) * f_2(t) = \int_{-\infty}^{\infty} f_1(\tau)f_2(t - \tau),d\tau$$

若 $f_1(t)$ 与 $f_2(t)$ 均为因果信号（即在 $t < 0$ 时信号值为 0），则上述积分区间可以缩窄为：

$$y(t) = \int_{0}^{t} f_1(\tau)f_2(t - \tau),d\tau, \quad t \ge 0$$

卷积的性质

例题

1. 已知条件拆解

• 激励信号（输入）：

  $$e(t) = e^{-\frac{t}{2}}[u(t) - u(t - 2)]$$

  这是一个被截断的指数衰减信号。由于方波门函数 $[u(t) - u(t - 2)]$ 的存在，它只在 $0 \le t < 2$ 期间有值，其余时间均为 0。

• 电路参数：电感 $L = 1\text{H}$，电阻 $R = 1\Omega$。

• 求解目标：零状态响应 $i(t)$，即假设电感初始电流为 0 的情况下，纯粹由输入 $e(t)$ 引起的响应。

2. 核心解题思路

对于线性时不变（LTI）系统，零状态响应等于输入信号与系统冲激响应的卷积：

$$i(t) = e(t) * h(t) = \int_{-\infty}^{+\infty} e(\tau)h(t - \tau),d\tau$$

因此，解题分为三步：求冲激响应 $h(t)$，代入卷积公式，分段计算积分。

3. 冲激响应 $h(t)$ 的推导

题图给出的冲激响应为：

$$h(t) = e^{-t}u(t)$$

其推导过程如下：根据基尔霍夫电压定律（KVL），串联回路的方程为：

$$L\frac{di(t)}{dt} + Ri(t) = e(t)$$

代入 $L = 1$、$R = 1$，得到系统的微分方程：

$$\frac{di(t)}{dt} + i(t) = e(t)$$

当输入为单位冲激信号 $\delta(t)$ 时，输出即为冲激响应 $h(t)$：

$$\frac{dh(t)}{dt} + h(t) = \delta(t)$$

注意，由于最高阶导数项前系数为 1，冲激输入会使 $h(t)$ 在 $t=0$ 处产生跳变，且 $h(0^+) - h(0^-) = 1$。若最高阶导数项系数为 $a$，则相应的跳变需归一化调整为 $1/a$。

这是一个典型的一阶微分方程，其对应的特征根为 $\lambda + 1 = 0$，即 $\lambda = -1$。因此冲激响应为：

$$h(t) = e^{-t}u(t)$$

4. 卷积积分的计算

将 $e(t)$ 和 $h(t)$ 代入卷积公式：

$$i(t) = \int_{-\infty}^{+\infty} e(\tau)h(t - \tau),d\tau$$

$$i(t) = \int_{-\infty}^{+\infty} \left{e^{-\frac{\tau}{2}}[u(\tau) - u(\tau - 2)]\right}\left{e^{-(t - \tau)}u(t - \tau)\right},d\tau$$

合并指数项：

$$e^{-\frac{\tau}{2}}e^{-(t - \tau)} = e^{-t}e^{\frac{\tau}{2}}$$

由于积分变量是 $\tau$，$e^{-t}$ 可以作为常数提到积分号外面：

$$i(t) = e^{-t}\int_{-\infty}^{+\infty} e^{\frac{\tau}{2}}[u(\tau) - u(\tau - 2)]u(t - \tau),d\tau$$

5. 分段确定积分上下限

被积函数不为 0，必须同时满足以下两个条件：

• 由 $[u(\tau) - u(\tau - 2)] = 1$ 可知：$0 \le \tau < 2$。
• 由 $u(t - \tau) = 1$ 可知：$t - \tau \ge 0$，即 $\tau \le t$。

综合这两个条件，积分变量 $\tau$ 的有效范围是同时满足 $0 \le \tau < 2$ 且 $\tau \le t$。

当 $t < 0$ 时

条件 $\tau \le t < 0$ 与 $0 \le \tau$ 矛盾，没有重合区间。此时积分值为 0：

$$i(t) = 0$$

当 $0 \le t < 2$ 时

由于 $t < 2$，所以 $\tau$ 的上限受限于 $t$，有效积分区间为 $[0, t]$：

$$i(t) = e^{-t}\int_{0}^{t} e^{\frac{\tau}{2}},d\tau$$

$$\int e^{\frac{\tau}{2}},d\tau = 2e^{\frac{\tau}{2}}$$

$$i(t) = e^{-t}\left[2e^{\frac{\tau}{2}}\right]_{0}^{t} = e^{-t}\left(2e^{\frac{t}{2}} - 2\right)$$

化简得：

$$i(t) = 2e^{-\frac{t}{2}} - 2e^{-t}$$

当 $t \ge 2$ 时

由于 $t \ge 2$，条件 $\tau \le t$ 已经包含了整个区间 $[0, 2]$，有效积分区间被固定在 $[0, 2]$：

$$i(t) = e^{-t}\int_{0}^{2} e^{\frac{\tau}{2}},d\tau$$

$$i(t) = e^{-t}\left[2e^{\frac{\tau}{2}}\right]_{0}^{2} = e^{-t}(2e - 2)$$

化简得：

$$i(t) = 2(e - 1)e^{-t}$$

6. 最终结论

经过分段计算，该题的最终零状态响应 $i(t)$ 的分段表达式为：

$$
i(t) =
\begin{cases}
0, & t < 0 \
2e^{-\frac{t}{2}} - 2e^{-t}, & 0 \le t < 2 \
2(e - 1)e^{-t}, & t \ge 2
\end{cases}
$$

2.4 特征函数及其应用

例题

题目

$$y’’(t) + 5y’(t) + 6y(t) = f’(t)$$

输入信号为：

$$f(t) = 3e^{-t}\varepsilon(t)$$

求系统的零状态响应 $y(t)$。

1. 题目核心

系统微分方程为：

$$y’’(t) + 5y’(t) + 6y(t) = f’(t)$$

右端不是 $f(t)$，而是 $f’(t)$。所以第一步要先求出输入端等效激励：

$$x(t) = f’(t)$$

由于：

$$f(t) = 3e^{-t}\varepsilon(t)$$

它是一个因果信号，含有单位阶跃函数 $\varepsilon(t)$，所以求导时必须考虑冲激项。

2. 求 $f’(t)$

利用公式：

$$\frac{d}{dt}[g(t)\varepsilon(t)] = g’(t)\varepsilon(t) + g(0)\delta(t)$$

这里：

$$g(t) = 3e^{-t}$$

所以：

$$g’(t) = -3e^{-t}$$

且：

$$g(0) = 3$$

因此：

$$f’(t) = -3e^{-t}\varepsilon(t) + 3\delta(t)$$

即：

$$x(t) = f’(t) = 3\delta(t) - 3e^{-t}\varepsilon(t)$$

3. 求辅助系统的冲激响应

系统方程左端对应算子为：

$$D^2 + 5D + 6$$

其特征方程为：

$$\lambda^2 + 5\lambda + 6 = 0$$

分解得：

$$(\lambda + 2)(\lambda + 3) = 0$$

所以特征根为：

$$\lambda_1 = -2, \quad \lambda_2 = -3$$

注意，原系统输入为 $f(t)$，输出为 $y(t)$，其传递函数应为 $H(s) = \frac{s}{s^2 + 5s + 6}$。此处我们通过定义等效输入 $x(t) = f’(t)$，将方程转化为 $y’’(t) + 5y’(t) + 6y(t) = x(t)$，从而利用辅助系统进行求解。该辅助系统的传递函数为：

$$H_{\text{aux}}(s) = \frac{1}{s^2 + 5s + 6}$$

即：

$$H_{\text{aux}}(s) = \frac{1}{(s + 2)(s + 3)}$$

部分分式分解：

$$\frac{1}{(s + 2)(s + 3)} = \frac{1}{s + 2} - \frac{1}{s + 3}$$

所以辅助系统的冲激响应为：

$$g_2(t) = (e^{-2t} - e^{-3t})\varepsilon(t)$$

4. 零状态响应

零状态响应等于输入与冲激响应卷积：

$$y(t) = x(t) * g_2(t)$$

其中：

$$x(t) = 3\delta(t) - 3e^{-t}\varepsilon(t)$$

因此：

$$y(t) = [3\delta(t) - 3e^{-t}\varepsilon(t)] * (e^{-2t} - e^{-3t})\varepsilon(t)$$

利用卷积性质：

$$\delta(t) * g_2(t) = g_2(t)$$

所以第一项为：

$$3\delta(t) * g_2(t) = 3g_2(t) = 3(e^{-2t} - e^{-3t})\varepsilon(t)$$

第二项为：

$$-3e^{-t}\varepsilon(t) * (e^{-2t} - e^{-3t})\varepsilon(t)$$

分别计算卷积：

$$e^{-t}\varepsilon(t) * e^{-2t}\varepsilon(t) = \int_0^t e^{-\tau}e^{-2(t - \tau)},d\tau$$

整理：

$$e^{-2t}\int_0^t e^{\tau},d\tau = e^{-2t}(e^t - 1) = e^{-t} - e^{-2t}$$

又有：

$$e^{-t}\varepsilon(t) * e^{-3t}\varepsilon(t) = \int_0^t e^{-\tau}e^{-3(t - \tau)},d\tau$$

$$= e^{-3t}\int_0^t e^{2\tau},d\tau = e^{-3t}\frac{e^{2t} - 1}{2} = \frac{1}{2}e^{-t} - \frac{1}{2}e^{-3t}$$

因此：

$$e^{-t}\varepsilon(t) * (e^{-2t} - e^{-3t})\varepsilon(t)$$

$$= (e^{-t} - e^{-2t}) - \left(\frac{1}{2}e^{-t} - \frac{1}{2}e^{-3t}\right)$$

$$= \frac{1}{2}e^{-t} - e^{-2t} + \frac{1}{2}e^{-3t}$$

所以第二项为：

$$-3\left(\frac{1}{2}e^{-t} - e^{-2t} + \frac{1}{2}e^{-3t}\right)\varepsilon(t)$$

即：

$$\left(-\frac{3}{2}e^{-t} + 3e^{-2t} - \frac{3}{2}e^{-3t}\right)\varepsilon(t)$$

5. 合并结果

第一项：

$$3g_2(t) = (3e^{-2t} - 3e^{-3t})\varepsilon(t)$$

第二项：

$$\left(-\frac{3}{2}e^{-t} + 3e^{-2t} - \frac{3}{2}e^{-3t}\right)\varepsilon(t)$$

两项相加：

$$
y(t) = \left(3e^{-2t} - 3e^{-3t}\right)\varepsilon(t)

• \left(-\frac{3}{2}e^{-t} + 3e^{-2t} - \frac{3}{2}e^{-3t}\right)\varepsilon(t)
  $$

整理后，零状态响应为：

$$y(t) = \left(-\frac{3}{2}e^{-t} + 6e^{-2t} - \frac{9}{2}e^{-3t}\right)\varepsilon(t)$$

也可写成：

$$y(t) = \left(-1.5e^{-t} + 6e^{-2t} - 4.5e^{-3t}\right)\varepsilon(t)$$

第三章 信号与系统的频域分析

3.1 周期信号的分解与合成

3.2 周期信号的频谱

周期信号频谱特点

• 离散性：频谱图由频率离散的谱线组成，每根谱线代表一个谐波分量，称为离散谱线，频谱图为离散频谱。
• 谐波性：频谱中的谱线只能在基波 $\omega_1$ 的整数倍频率上出现。
• 收敛性：对于符合狄里赫利（Dirichlet）条件的实际物理信号，其高次谐波幅度随谐波次数增加而渐小，当谐波次数趋于无穷大时，谐波分量的振幅趋于零。

3.3 傅里叶变换

意义：把一个信号或函数分解成不同频率的正弦波 / 复指数波的叠加。

频谱密度函数的表示，傅里叶变换定义为：

$$F(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty} f(t)e^{-j\omega t},dt$$

也可记为：

$$F(\omega)=\mathcal{F}[f(t)]$$

其中：

• $f(t)$：时域函数或时域信号；
• $F(\omega)$：频域函数，也称频谱密度函数；
• $\omega$：角频率；
• $j$：虚数单位。

傅里叶变换的含义：由 $f(t)$ 求 $F(\omega)$，称为傅里叶变换。

也就是说：

$$f(t) \xrightarrow{\text{傅里叶变换}} F(\omega)$$

傅里叶变换把信号从时域表示转换为频域表示。

频谱的复数表示，一般情况下，$F(\omega)$ 是复信号，因此可以表示为极坐标形式：

$$F(\omega)=|F(\omega)|e^{j\varphi(\omega)}$$

其中：

• $|F(\omega)|$：幅度谱；
• $\varphi(\omega)$：相位谱。

幅度频谱：

$$|F(\omega)|\sim\omega$$

表示幅度随角频率 $\omega$ 的变化关系，称为幅度频谱。

它反映不同频率成分的强弱。

相位频谱：

$$\varphi(\omega)\sim\omega$$

表示相位随角频率 $\omega$ 的变化关系，称为相位频谱。

它反映不同频率成分的相位偏移。

3.4 傅里叶反变换

由频域函数 $F(\omega)$ 还原到时域函数 $f(t)$，其定义式为：

$$f(t) = \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty} F(\omega)e^{j\omega t},d\omega$$

也可记为：

$$f(t) = \mathcal{F}^{-1}[F(\omega)]$$

3.4.1 常用连续时间傅里叶变换对

本小节采用连续时间傅里叶变换（CTFT）约定：

$$X(j\omega)=\int_{-\infty}^{+\infty}x(t)e^{-j\omega t},dt$$

其反变换为：

$$x(t)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}X(j\omega)e^{j\omega t},d\omega$$

记号上，以下用

$$x(t)\leftrightarrow X(j\omega)$$

表示一组傅里叶变换对。

1. 冲激函数与常数

单位冲激函数：

$$\delta(t)\leftrightarrow 1$$

含义：冲激函数包含所有频率成分，所以频域是常数 $1$。

移位冲激函数：

$$\delta(t-t_0)\leftrightarrow e^{-j\omega t_0}$$

直流信号：

$$1\leftrightarrow 2\pi\delta(\omega)$$

更一般地，常数 $A$ 的傅里叶变换为：

$$A\leftrightarrow 2\pi A\delta(\omega)$$

注意这里的 $2\pi$ 来自反变换定义中的系数 $\frac{1}{2\pi}$。

2. 复指数信号

复指数信号对应频域中的冲激：

$$e^{j\omega_0t}\leftrightarrow 2\pi\delta(\omega-\omega_0)$$

当 $\omega_0=0$ 时，$e^{j\omega_0t}=1$，因此退化为直流信号的变换对：

$$1\leftrightarrow 2\pi\delta(\omega)$$

3. 单边衰减指数信号

对 $a>0$，有：

$$e^{-at}\varepsilon(t)\leftrightarrow \frac{1}{a+j\omega}$$

常见例子：

$$e^{-t}\varepsilon(t)\leftrightarrow \frac{1}{1+j\omega}$$

$$e^{-2t}\varepsilon(t)\leftrightarrow \frac{1}{2+j\omega}$$

$$e^{-3t}\varepsilon(t)\leftrightarrow \frac{1}{3+j\omega}$$

这是做系统题时常用的一组公式。

4. 双边衰减指数信号

对 $a>0$，有：

$$e^{-a|t|}\leftrightarrow \frac{2a}{a^2+\omega^2}$$

例如当 $a=1$ 时：

$$e^{-|t|}\leftrightarrow \frac{2}{1+\omega^2}$$

由于 $e^{-a|t|}$ 是偶函数，其频谱也是实偶函数。

5. 阶跃函数与符号函数

单位阶跃函数的傅里叶变换为：

$$\varepsilon(t)\leftrightarrow \pi\delta(\omega)+\frac{1}{j\omega}$$

其中 $\frac{1}{j\omega}$ 严格来说是广义函数意义下的主值，通常可直接按上式记忆。

一种常用记忆方法是把阶跃函数写成：

$$\varepsilon(t)=\frac{1}{2}\left[1+\operatorname{sgn}(t)\right]$$

其中符号函数定义为：

$$
\operatorname{sgn}(t)=
\begin{cases}
1, & t>0 \
0, & t=0 \
-1, & t<0
\end{cases}
$$

由

$$\operatorname{sgn}(t)=2\varepsilon(t)-1$$

可得：

$$\operatorname{sgn}(t)\leftrightarrow \frac{2}{j\omega}$$

因此阶跃函数中含有直流分量，对应频域中的冲激项 $\pi\delta(\omega)$；而符号函数没有直流分量，所以没有冲激项。

6. 门函数

宽度为 $\tau$、中心在原点的门函数可记为：

$$
G_\tau(t)=\operatorname{rect}\left(\frac{t}{\tau}\right)=
\begin{cases}
1, & |t|<\frac{\tau}{2} \
0, & |t|>\frac{\tau}{2}
\end{cases}
$$

端点取值不影响傅里叶变换。

其傅里叶变换由定义积分得到：

$$
\begin{aligned}
G_\tau(t)&\leftrightarrow \int_{-\tau/2}^{\tau/2}e^{-j\omega t},dt \
&=\left.\frac{e^{-j\omega t}}{-j\omega}\right|_{-\tau/2}^{\tau/2} \
&=\frac{e^{-j\omega\tau/2}-e^{j\omega\tau/2}}{-j\omega} \
&=\frac{2\sin(\omega\tau/2)}{\omega}
\end{aligned}
$$

若定义

$$\operatorname{Sa}(x)=\frac{\sin x}{x}$$

则门函数的变换也可写为：

$$G_\tau(t)\leftrightarrow \frac{2\sin(\omega\tau/2)}{\omega}=\tau\operatorname{Sa}\left(\frac{\omega\tau}{2}\right)$$

门函数越窄，频谱主瓣越宽；门函数越宽，频谱主瓣越窄，体现了时域宽度与频域宽度的相反变化，这也称为时频展宽关系。

7. 常用变换表

8. 记忆要点

• 冲激在时域越集中，频域越展开：$\delta(t)\leftrightarrow 1$。
• 常数在时域无限延伸，频域集中为冲激：$1\leftrightarrow 2\pi\delta(\omega)$。
• 复指数 $e^{j\omega_0t}$ 在频域对应位于 $\omega=\omega_0$ 的冲激。
• 单边衰减指数 $e^{-at}\varepsilon(t)$ 的分母是 $a+j\omega$。
• 双边衰减指数 $e^{-a|t|}$ 的频谱是偶函数 $\frac{2a}{a^2+\omega^2}$。
• 阶跃函数可用 $\varepsilon(t)=\frac{1}{2}[1+\operatorname{sgn}(t)]$ 记忆。
• 门函数变换为 Sa 型函数，时域变宽则频域变窄，时域变窄则频域变宽。

9. 易混点

• $\delta(t)\leftrightarrow 1$ 与 $1\leftrightarrow 2\pi\delta(\omega)$ 是一对容易混淆的对偶关系，常数变换中不要漏掉 $2\pi$。
• $\varepsilon(t)$ 的频谱包含冲激项：$\pi\delta(\omega)$，因为阶跃函数含有直流分量。
• $\operatorname{sgn}(t)$ 的频谱没有冲激项，因为正负两侧抵消后没有直流分量。
• 门函数 $G_\tau(t)$ 的频谱是 Sa 型函数；时间宽度与频带宽度相反变化。

3.4.2 脉冲展缩与频带变化（尺度变换）

1. 核心结论

傅里叶变换中的尺度变换性质说明：信号在时域中的压缩或扩展，会导致其频谱在频域中发生相反方向的扩展或压缩。

也就是说：

• 时域压缩 $\to$ 频域扩展；
• 时域扩展 $\to$ 频域压缩。

2. 尺度变换公式

若

$$f(t) \leftrightarrow F(\omega)$$

则有

$$f(at) \leftrightarrow \frac{1}{|a|}F\left(\frac{\omega}{a}\right)$$

其中：

• $a$ 为尺度因子；
• $|a|$ 用来保证幅度缩放为正；
• $F(\omega)$ 是 $f(t)$ 的频谱函数。

3. 不同 $a$ 的物理含义

情况一：$a > 1$

$f(at)$ 表示信号在时域被压缩，对应频谱为：

$$\frac{1}{|a|}F\left(\frac{\omega}{a}\right)$$

此时频谱在频域中被扩展。因此：

$$\text{时域压缩} \Longleftrightarrow \text{频域扩展}$$

情况二：$0 < a < 1$

$f(at)$ 表示信号在时域被扩展，也称为展宽，对应频谱在频域中被压缩。因此：

$$\text{时域扩展} \Longleftrightarrow \text{频域压缩}$$

4. 特殊情况：时间反转

当

$$a = -1$$

时，有

$$f(-t) \leftrightarrow F(-\omega)$$

这表示时域信号发生时间反转，频域频谱也发生频率反转，即：

$$t \to -t, \quad \omega \to -\omega$$

5. 直观理解

傅里叶变换中的尺度变换体现了时域和频域的互逆关系：

• 一个信号如果在时间上变化得更快，它就需要更多高频成分来表示，因此频谱会变宽；
• 一个信号如果在时间上变化得更慢，它主要由较低频率成分构成，因此频谱会变窄。

3.4.3 信号的延时与相位移动（延时特性）

1. 核心结论

傅里叶变换的延时特性说明：信号在时域中发生延时或超前，不会改变其幅度频谱，只会改变其相位频谱。

2. 延时特性公式

若

$$f(t) \leftrightarrow F(\omega)$$

则有

$$f(t \pm t_0) \leftrightarrow F(\omega)e^{\pm j\omega t_0}$$

其中：

• $t_0$ 为时间平移量；
• $e^{\pm j\omega t_0}$ 是由时间平移引起的相位因子；
• $\omega$ 为角频率。

需要注意，上式中的符号需要同向对应：$f(t - t_0)$ 对应 $e^{-j\omega t_0}$，$f(t + t_0)$ 对应 $e^{j\omega t_0}$。

3. 延时与超前的对应关系

情况一：信号延时

若信号延时 $t_0$，通常写为：

$$f(t - t_0)$$

其傅里叶变换为：

$$f(t - t_0) \leftrightarrow F(\omega)e^{-j\omega t_0}$$

表示相位减少：

$$-\omega t_0$$

情况二：信号超前

若信号超前 $t_0$，通常写为：

$$f(t + t_0)$$

其傅里叶变换为：

$$f(t + t_0) \leftrightarrow F(\omega)e^{j\omega t_0}$$

表示相位增加：

$$+\omega t_0$$

4. 幅度频谱保持不变

设

$$F(\omega)=|F(\omega)|e^{j\varphi(\omega)}$$

则延时或超前后：

$$F(\omega)e^{\pm j\omega t_0} = |F(\omega)|e^{j[\varphi(\omega) \pm \omega t_0]}$$

因此：

• 幅度频谱仍为 $|F(\omega)|$；
• 相位频谱变为 $\varphi(\omega) \pm \omega t_0$。

3.4.4 信号的调制与频谱搬移（频移特性）

在信号的处理与传输过程中，调制（调幅、调频、调相等）是重要手段。

若

$$f(t) \leftrightarrow F(\omega)$$

则

$$f(t)e^{j\omega_0 t} \leftrightarrow F(\omega - \omega_0)$$

上式说明：将信号 $f(t)$ 与 $e^{j\omega_0 t}$ 相乘，对应于将 $f(t)$ 的整个频谱 $F(\omega)$ 沿 $\omega$ 轴搬移 $\omega_0$，这称为频移特性。

在无线电技术中，经常需要把信号频谱搬移至高频 $\omega_0$ 附近，此过程称为调制。反之，若 $x(t)$ 的频谱原来位于 $\omega = \omega_0$ 附近，则将 $x(t)$ 乘以 $e^{-j\omega_0 t}$ 可使其频谱搬移至 $\omega = 0$ 附近，这一过程称为解调。

由于虚指数信号是正弦、余弦信号的组成部分，工程上常将 $f(t)$ 与正弦函数或余弦函数相乘，以达到频谱搬移的目的。

利用欧拉公式：

$$
\cos \omega_0 t = \frac{1}{2}\left(e^{j\omega_0 t}+e^{-j\omega_0 t}\right)
$$

因此：

$$
\begin{aligned}
f(t)\cos \omega_0 t
&= \frac{1}{2}f(t)e^{j\omega_0 t}

• \frac{1}{2}f(t)e^{-j\omega_0 t}
  \end{aligned}
  $$

若 $f(t) \leftrightarrow F(\omega)$，则有调制定理：

$$
\begin{aligned}
f(t)\cos \omega_0 t
&\leftrightarrow
\frac{1}{2}\left[F(\omega - \omega_0)+F(\omega + \omega_0)\right]
\end{aligned}
$$

式中，$\cos \omega_0 t$ 一般是高频信号，称为载波；$f(t)$ 在这里称为调制信号。两者相乘得到一个幅度随 $f(t)$ 变化的高频振荡信号 $f(t)\cos \omega_0 t$，称为调幅信号。

3.4.5 时-频对称性

研究发现，信号的时域变化与其频谱特性之间存在着一定的对称性。

若

$$
f(t) \leftrightarrow F(\omega)
$$

则

$$
F(t) \leftrightarrow 2\pi f(-\omega)
$$

它表明：若时间函数 $f(t)$ 的频谱为 $F(\omega)$，则以 $F(t)$ 作为时间信号时，其频谱为 $2\pi f(-\omega)$。

若 $f(t)$ 为偶函数，则 $f(-\omega)=f(\omega)$，因此有：

$$
F(t) \leftrightarrow 2\pi f(\omega)
$$

3.4.6 卷积定理

1. 时域卷积定理

若

$$
f_1(t) \leftrightarrow F_1(\omega), \quad f_2(t) \leftrightarrow F_2(\omega)
$$

则

$$
f_1(t) * f_2(t) \leftrightarrow F_1(\omega)F_2(\omega)
$$

也就是说，时域中的卷积对应频域中的乘积。

例如，若

$$
f(t)=g(t)*g(t)
$$

则其对应的频谱函数为

$$
F(\omega)=G(\omega)G(\omega)=G^2(\omega)
$$

因此，三角形脉冲可看作两个矩形脉冲的卷积，其频谱与矩形脉冲频谱的平方有关。三角形脉冲频谱的主要能量集中在低频分量。

2. 频域卷积定理

若

$$
f_1(t) \leftrightarrow F_1(\omega), \quad f_2(t) \leftrightarrow F_2(\omega)
$$

则

$$
f_1(t)f_2(t) \leftrightarrow \frac{1}{2\pi}\left[F_1(\omega)*F_2(\omega)\right]
$$

也就是说，时域中的乘积对应频域中的卷积，并且在本文采用的傅里叶变换约定下需要乘以系数 $\frac{1}{2\pi}$。

3. 应用：系统响应的频谱

对于线性时不变系统，若输入信号为 $f(t)$，系统冲激响应为 $h(t)$，输出响应为 $y(t)$，则

$$
y(t)=f(t)*h(t)
$$

由时域卷积定理可得

$$
Y(\omega)=F(\omega)H(\omega)
$$

即系统响应的频谱等于输入信号频谱 $F(\omega)$ 与系统频率特性 $H(\omega)$ 的乘积。

系统频率特性定义为系统冲激响应 $h(t)$ 的傅里叶变换：

$$
H(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty} h(t)e^{-j\omega t},dt
$$

3.5 周期信号的傅里叶变换

3.5.1 冲激序列的频谱

周期冲激串信号可表示为：

$$
\delta_T(t)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}\delta(t-nT)
$$

其基波角频率为：

$$
\omega_0=\frac{2\pi}{T}
$$

由于周期冲激串在一个周期内只包含位于 $t=0$ 的单位冲激，其傅里叶级数复系数为：

$$
F_n=\frac{1}{T}
$$

因此，周期冲激串的傅里叶级数展开式为：

$$
\delta_T(t)=\frac{1}{T}\sum_{n=-\infty}^{\infty}e^{jn\omega_0 t}
$$

根据本文采用的傅里叶变换约定：

$$
F(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty} f(t)e^{-j\omega t},dt
$$

并利用：

$$
e^{jn\omega_0 t}\leftrightarrow 2\pi\delta(\omega-n\omega_0)
$$

可得周期冲激串的傅里叶变换为：

$$
\delta_T(t)\leftrightarrow \frac{2\pi}{T}\sum_{n=-\infty}^{\infty}\delta(\omega-n\omega_0)
$$

即：

$$
\delta_T(t)\leftrightarrow \omega_0\sum_{n=-\infty}^{\infty}\delta(\omega-n\omega_0)
$$

冲激序列的频谱仍为离散的冲激串，谱线位于 $\omega=n\omega_0$ 处，各谱线强度为 $\omega_0$。

3.6 系统的频域分析

3.6.1 系统函数

系统函数是连接信号时域分析与频域分析的纽带。对于 LTI 系统，若输入信号为 $f(t)$，冲激响应为 $h(t)$，零状态响应为 $y(t)$，则有：

$$
y(t)=f(t)*h(t)
$$

若

$$
f(t)\leftrightarrow F(\omega),\quad h(t)\leftrightarrow H(\omega)
$$

根据时域卷积定理，响应 $y(t)$ 的傅里叶变换为：

$$
Y(\omega)=F(\omega)H(\omega)
$$

因此系统函数可定义为输出响应频谱与输入信号频谱之比：

$$
H(\omega)=\frac{Y(\omega)}{F(\omega)}
$$

系统函数 $H(\omega)$ 也称为系统的频率特性，通常可写成极坐标形式：

$$
H(\omega)=|H(\omega)|e^{j\varphi(\omega)}
$$

其中，$|H(\omega)|$ 称为幅频特性，$\varphi(\omega)$ 称为相频特性。$H(\omega)$ 也常记为 $H(j\omega)$。

系统函数 $H(\omega)$ 与冲激响应 $h(t)$ 构成傅里叶变换对：

$$
H(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty} h(t)e^{-j\omega t},dt
$$

$$
h(t)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty} H(\omega)e^{j\omega t},d\omega
$$

3.6.2 取样定理

若 $f(t)$ 为带宽有限的连续信号，其频谱的最高频率为 $f_m$，则以取样间隔 $T_s \le \frac{1}{2f_m}$ 对 $f(t)$ 均匀采样所得的取样信号将包含原信号 $f(t)$ 的全部信息，因而可利用取样信号完全恢复出原信号。

信号 $f(t)$ 取样后不丢失信息的两个条件：一是 $f(t)$ 的带宽应有限，即频谱在 $|f| > f_m$ 时为零；二是取样间隔满足 $T_s \le \frac{1}{2f_m}$。最大的取样间隔 $T_s = \frac{1}{2f_m}$ 称为奈奎斯特间隔，最小的取样频率 $f_s = 2f_m$ 称为奈奎斯特取样频率。

第四章 连续系统的复频域分析

4.1 从傅里叶变换到拉普拉斯变换

4.1.1 拉普拉斯正变换的引入

设信号为 $f(t)$。为了使某些不满足傅里叶变换绝对可积条件的信号也能进行变换，引入指数衰减因子：

$$e^{-\sigma t}$$

其中，$\sigma$ 为任意实数。

对 $f(t)e^{-\sigma t}$ 作傅里叶变换：

$$
F(\omega)=\mathcal{F}\left[f(t)e^{-\sigma t}\right]
=\int_{-\infty}^{+\infty} f(t)e^{-\sigma t}e^{-j\omega t},dt
$$

合并指数项：

$$
F(\omega)=\int_{-\infty}^{+\infty} f(t)e^{-(\sigma+j\omega)t},dt
$$

令

$$s=\sigma+j\omega$$

则有：

$$
F(s)=\int_{-\infty}^{+\infty} f(t)e^{-st},dt
$$

这就是信号 $f(t)$ 的双边拉普拉斯变换，简称双边拉氏变换。

所以拉普拉斯变换可以理解为：在傅里叶变换前，先给信号乘上一个指数衰减或增长因子 $e^{-\sigma t}$，从而扩展傅里叶变换的适用范围。

4.2 复频率

$$s=\sigma+j\omega$$

其中：

• $\sigma$：实部，决定指数衰减或增长；
• $\omega$：虚部，对应角频率；
• $s$：称为复频率。

因此，拉普拉斯变换可以看作傅里叶变换从纯虚轴 $j\omega$ 推广到整个复平面 $s=\sigma+j\omega$。

4.3 双边拉普拉斯变换与收敛域 ROC

4.3.1 双边拉普拉斯变换对

$$
F(s)=\mathcal{L}[f(t)]=\int_{-\infty}^{+\infty} f(t)e^{-st},dt
$$

记作：

$$f(t)\leftrightarrow F(s)$$

其中：

• $f(t)$：原函数，时域函数；
• $F(s)$：象函数，复频域函数。

4.3.2 收敛域 ROC

使拉普拉斯变换 $F(s)$ 存在的 $s$ 的区域，称为收敛域，记为 ROC，即：

$$\mathrm{ROC}=\text{Region of Convergence}$$

本质上，ROC 就是拉普拉斯积分收敛的条件。

拉普拉斯变换为：

$$
F(s)=\int_{-\infty}^{+\infty} f(t)e^{-st},dt
$$

由于：

$$s=\sigma+j\omega$$

所以：

$$
e^{-st}=e^{-(\sigma+j\omega)t}=e^{-\sigma t}e^{-j\omega t}
$$

其中：

• $e^{-j\omega t}$ 只产生振荡，不改变幅值；
• $e^{-\sigma t}$ 决定指数衰减或增长。

因此，是否收敛主要由 $\sigma$ 决定。

若存在某个 $\sigma_0$，使得当 $\sigma>\sigma_0$ 时，

$$
\lim_{t\to\infty} f(t)e^{-\sigma t}=0
$$

则拉普拉斯变换可能收敛。

此时收敛域通常表现为复平面中某条竖直线右侧的区域：

$$\operatorname{Re}(s)>\sigma_0$$

其中，$\sigma_0$ 称为收敛坐标或收敛边界。

仅有代数表达式 $F(s)$ 并不能完全确定原信号。例如不同信号可能有相同形式的 $F(s)$，但 ROC 不同，对应的时域信号也不同。

所以拉普拉斯变换应包括：

$$F(s)+\mathrm{ROC}$$

4.4 单边拉普拉斯变换

在实际信号与系统分析中，通常考虑因果信号，即：

$$f(t)=0,\quad t<0$$

因此积分下限从 $-\infty$ 改为 $0^-$，得到单边拉普拉斯变换：

$$
F(s)=\mathcal{L}[f(t)]=\int_{0^-}^{+\infty} f(t)e^{-st},dt
$$

其反变换形式为：

$$
f(t)=\mathcal{L}^{-1}[F(s)]=\frac{1}{2\pi j}\int_{\sigma-j\infty}^{\sigma+j\infty}F(s)e^{st},ds
$$

这里的 $0^-$ 表示从 $t=0$ 左侧开始积分，目的是在处理冲激信号、初始条件等问题时更加严谨。

单边拉普拉斯变换常用于因果系统、电路分析、控制系统和初始条件问题；双边拉普拉斯变换适合一般信号分析。

4.5 拉普拉斯反变换

由正变换：

$$
F(s)=F(\sigma+j\omega)=\int_{-\infty}^{+\infty} f(t)e^{-(\sigma+j\omega)t},dt
$$

也可以写成：

$$
F(\sigma+j\omega)=\int_{-\infty}^{+\infty} f(t)e^{-\sigma t}e^{-j\omega t},dt
$$

可见，$f(t)e^{-\sigma t}$ 是 $F(\sigma+j\omega)$ 的傅里叶反变换。

根据傅里叶反变换：

$$
f(t)e^{-\sigma t}=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}F(\sigma+j\omega)e^{j\omega t},d\omega
$$

两边同时乘以 $e^{\sigma t}$，得：

$$
f(t)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}F(\sigma+j\omega)e^{(\sigma+j\omega)t},d\omega
$$

因为

$$s=\sigma+j\omega$$

若 $\sigma$ 取常数，则：

$$ds=j,d\omega$$

所以积分路径由 $\omega:-\infty\to+\infty$ 变为复平面中的竖直直线：

$$s:\sigma-j\infty\to\sigma+j\infty$$

因此：

$$
f(t)=\mathcal{L}^{-1}[F(s)]=\frac{1}{2\pi j}\int_{\sigma-j\infty}^{\sigma+j\infty}F(s)e^{st},ds
$$

这就是双边拉普拉斯反变换。

4.6 拉普拉斯变换对与常用性质

4.6.1 线性性质

若

$$
f_1(t)\leftrightarrow F_1(s),\qquad f_2(t)\leftrightarrow F_2(s)
$$

则

$$
a_1f_1(t)+a_2f_2(t)\leftrightarrow a_1F_1(s)+a_2F_2(s)
$$

原笔记中的例子为：

$$
f(t)=e^{-3t}\varepsilon(t)+\sin 2t,\varepsilon(t)
$$

其中：

$$
e^{-3t}\varepsilon(t)\leftrightarrow \frac{1}{s+3}
$$

$$
\sin 2t,\varepsilon(t)\leftrightarrow \frac{2}{s^2+4}
$$

由线性性质，得 $f(t)$ 的象函数：

$$
F(s)=\frac{1}{s+3}+\frac{2}{s^2+4}
=\frac{s^2+2s+10}{(s+3)(s^2+4)}
$$

4.6.2 延时特性

若

$$f(t)\leftrightarrow F(s)$$

则

$$
f(t-t_0)\varepsilon(t-t_0)\leftrightarrow F(s)e^{-st_0},\quad t_0>0
$$

上式规定 $t_0>0$，即限定波形沿时间轴向右平移。

表明：信号延时 $t_0$ 出现时，其拉氏变换是原象函数乘以与 $t_0$ 有关的指数因子。

4.6.3 微分定理

若

$$\mathcal{L}[f(t)]=F(s)$$

则

$$
\mathcal{L}\left[\frac{df(t)}{dt}\right]=sF(s)-f(0^-)
$$

推广到二阶导数：

$$
\mathcal{L}\left[\frac{d^2f(t)}{dt^2}\right]
=s\left[sF(s)-f(0^-)\right]-f’(0^-)
=s^2F(s)-sf(0^-)-f’(0^-)
$$

推广到 $n$ 阶导数：

$$
\mathcal{L}\left[\frac{d^nf(t)}{dt^n}\right]
=s^nF(s)-\sum_{k=0}^{n-1}s^{n-1-k}f^{(k)}(0^-)
$$

4.6.4 卷积定理

若

$$
f_1(t)\leftrightarrow F_1(s),\qquad f_2(t)\leftrightarrow F_2(s)
$$

且 $f_1(t)$、$f_2(t)$ 为有始信号，则

$$
f_1(t)*f_2(t)\leftrightarrow F_1(s)F_2(s)
$$

卷积定理表明：两信号卷积的象函数等于相应两个象函数的乘积。

应用于系统分析：

$$
y(t)=f(t)*h(t)
$$

$$
Y(s)=F(s)H(s)
$$

$$
H(s)=\mathcal{L}[h(t)]=\int_{0^-}^{+\infty} h(t)e^{-st},dt
$$

$H(s)$ 称为 $s$ 域系统函数。

4.6.5 尺度变换与时移、尺度变换同时存在

若

$$f(t)\leftrightarrow F(s)$$

则尺度变换为：

$$
f(at)\leftrightarrow \frac{1}{a}F\left(\frac{s}{a}\right),\quad a>0
$$

时移和尺度变换同时存在时：

$$
f(at-b)\varepsilon(at-b)\leftrightarrow \frac{1}{a}e^{-\frac{bs}{a}}F\left(\frac{s}{a}\right),\quad a>0,\ b\ge 0
$$

4.7 拉普拉斯变换与傅里叶变换的关系

傅里叶变换：

$$
F(j\omega)=\int_{-\infty}^{+\infty} f(t)e^{-j\omega t},dt
$$

拉普拉斯变换：

$$
F(s)=\int_{-\infty}^{+\infty} f(t)e^{-st},dt
$$

其中：

$$s=\sigma+j\omega$$

当：

$$\sigma=0$$

则：

$$s=j\omega$$

于是拉普拉斯变换变为：

$$
F(j\omega)=\int_{-\infty}^{+\infty} f(t)e^{-j\omega t},dt
$$

这就是傅里叶变换。

因此，傅里叶变换是拉普拉斯变换在虚轴上的特例，但前提是虚轴 $j\omega$ 必须位于 ROC 内。

4.8 容易混淆的点

4.8.1 $F(\omega)$ 与 $F(s)$

在傅里叶变换中，结果通常写作：

$$F(\omega)\quad\text{或}\quad F(j\omega)$$

在拉普拉斯变换中，结果写作：

$$F(s)$$

因为拉普拉斯变换的自变量不是单纯的频率 $\omega$，而是复频率：

$$s=\sigma+j\omega$$

4.8.2 双边与单边拉普拉斯变换

双边拉普拉斯变换：

$$
F(s)=\int_{-\infty}^{+\infty} f(t)e^{-st},dt
$$

适合一般信号分析。

单边拉普拉斯变换：

$$
F(s)=\int_{0^-}^{+\infty} f(t)e^{-st},dt
$$

常用于因果系统、电路分析、控制系统和初始条件问题。

4.8.3 收敛域不能忽略

仅有代数表达式 $F(s)$ 并不能完全确定原信号。例如不同信号可能有相同形式的 $F(s)$，但 ROC 不同，对应的时域信号也不同。

所以拉普拉斯变换应包括：

$$F(s)+\mathrm{ROC}$$

第五章 系统函数与零、极点分析

5.1 系统函数

$H(s)$ 称为系统函数，是系统在复频域（$s$ 域）中的描述。对于线性时不变（LTI）系统，若冲激响应为 $h(t)$，则系统函数为冲激响应的拉普拉斯变换：

$$
H(s)=\mathcal{L}[h(t)]=\int_{0^-}^{+\infty} h(t)e^{-st},dt
$$

系统函数具有以下特点：

• $H(s)$ 是联系输入和响应的纽带。若输入、输出的拉普拉斯变换分别为 $F(s)$、$Y(s)$，在零状态条件下有：

  $$
  Y(s)=F(s)H(s),\qquad H(s)=\frac{Y(s)}{F(s)}
  $$

• $H(s)$ 是系统频率特性 $H(j\omega)$ 在 $s$ 域中的推广。当 $s=j\omega$ 且虚轴位于收敛域内时，可由 $H(s)$ 得到频率特性。

• $H(s)$ 取决于系统的结构和元件参数，与系统的起始状态无关，也与具体激励和响应的形式无关。

• 对于由常系数线性微分方程描述的系统，$H(s)$ 通常是实系数有理分式。

• $H(s)$ 的分母根决定系统的特征根（固有频率），因此与系统的自然响应和动态特性密切相关。

5.2 系统函数的零、极点

一般形式

系统函数通常可表示为实系数有理分式：

$$
H(s)=\frac{N(s)}{D(s)}
=\frac{b_m s^m+b_{m-1}s^{m-1}+\cdots+b_1s+b_0}{a_n s^n+a_{n-1}s^{n-1}+\cdots+a_1s+a_0}
$$

其中：

• $a_i$、$b_i$ 为实数；
• $m$、$n$ 为非负整数；
• $N(s)$ 为分子多项式；
• $D(s)$ 为分母多项式；
• 当 $m<n$ 时，$H(s)$ 为有理真分式。

说明：原 OCR 内容中出现了 $H(s)=D(s)/N(s)$，且图片/公式可能把分母和分子次序写反。这里按系统函数与零、极点的标准定义修正为 $H(s)=N(s)/D(s)$：零点来自分子根，极点来自分母根。

因式分解形式

若将分子和分母分别因式分解，可写为：

$$
H(s)=\frac{N(s)}{D(s)}
=\frac{b_m(s-z_1)(s-z_2)\cdots(s-z_m)}{a_n(s-p_1)(s-p_2)\cdots(s-p_n)}
$$

也可以写成乘积形式：

$$
H(s)=\frac{b_m}{a_n}\cdot\frac{\prod_{i=1}^{m}(s-z_i)}{\prod_{j=1}^{n}(s-p_j)}
$$

其中：

• $z_1,z_2,\cdots,z_m$ 是分子方程 $N(s)=0$ 的根；
• $p_1,p_2,\cdots,p_n$ 是分母方程 $D(s)=0$ 的根。

说明：原图或 OCR 的乘积形式中，分母位置似乎出现了 $(s-z_i)$ 或分子、分母互换的写法。按定义应为分母含 $(s-p_j)$，即极点对应分母根。

零点的定义

若

$$
N(s)=0
$$

则

$$
H(s)=0
$$

使系统函数 $H(s)$ 为零的 $s$ 值称为系统函数的零点。因此：

$$
z_1,z_2,\cdots,z_m
$$

是 $N(s)=0$ 的根，称为 $H(s)$ 的零点。

极点的定义

若

$$
D(s)=0
$$

则在没有零极点相消的情况下，

$$
H(s)\to\infty
$$

使系统函数 $H(s)$ 趋于无穷大的 $s$ 值称为系统函数的极点。因此：

$$
p_1,p_2,\cdots,p_n
$$

是 $D(s)=0$ 的根，称为 $H(s)$ 的极点。

核心理解

对于系统函数：

$$
H(s)=\frac{N(s)}{D(s)}
$$

应抓住两个核心关系：

• 零点由分子决定：$N(s)=0$；
• 极点由分母决定：$D(s)=0$。

简单记忆：

$$
\text{零点：}N(s)=0,\qquad \text{极点：}D(s)=0
$$

系统意义

在信号与系统中，零点和极点决定系统的重要性质：

• 零点决定系统在哪些频率或复频率处响应为零。

• 极点决定系统的自然响应形式、稳定性和动态特性。

• 连续时间因果 LTI 系统的稳定性与极点位置有关：如果所有极点都位于复平面的左半平面，即满足

  $$
  \operatorname{Re}(p_j)<0,\qquad j=1,2,\cdots,n
  $$

  则系统稳定。

极点位置与冲激响应模式的关系

由 $H(s)$ 的极点位置与冲激响应 $h(t)$ 的对应关系，可以得出以下结论：

• 极点位于 $s$ 平面原点时，$h(t)$ 对应为阶跃函数。
• 极点位于 $s$ 平面负实轴上时，$h(t)$ 对应为衰减指数函数；极点位于 $s$ 平面正实轴上时，$h(t)$ 对应为增长指数函数。
• 共轭极点位于 $s$ 平面左半平面时，$h(t)$ 对应为衰减的正弦振荡；位于右半平面时，$h(t)$ 对应为增长的正弦振荡；位于虚轴上时，$h(t)$ 对应为等幅振荡。
• $H(s)$ 的零点只影响 $h(t)$ 的幅度和相位，$H(s)$ 的极点才决定时域特性的变化模式。

由 $H(s)$ 的极点分布可以给出系统稳定性的如下结论：

• 稳定：充要条件是

  $$
  \operatorname{Re}(p_j)<0,\qquad j=1,2,\cdots,n
  $$

  即 $H(s)$ 的全部极点位于 $s$ 平面左半平面。

• 临界稳定：$H(s)$ 在虚轴上有 $s=0$ 的单极点或一对共轭单极点，其余极点均在 $s$ 平面左半平面。

• 不稳定：$H(s)$ 只要有一个极点位于 $s$ 平面右半平面，或在虚轴上有二阶或二阶以上的重极点。

系统稳定性判据

一、稳定性的必要条件

设系统函数 $H(s)$ 的分母多项式为：

$$
D(s)=a_n s^n+a_{n-1}s^{n-1}+\cdots+a_1s+a_0
$$

系统稳定的一个必要条件是：$D(s)$ 的全部系数都非零，且均为正实数。即：

$$
a_n>0,\quad a_{n-1}>0,\quad \cdots,\quad a_1>0,\quad a_0>0
$$

二、一阶、二阶系统的稳定性判据

对于一阶或二阶系统，上述系数全为正的条件不仅是必要条件，而且是充要条件。

也就是说，对于一阶、二阶系统，只要分母多项式的各项系数满足：

$$
a_i>0
$$

则系统稳定。

三、三阶系统的稳定性判据

对于三阶系统：

$$
D(s)=a_3s^3+a_2s^2+a_1s+a_0
$$

系统稳定的充要条件为：

1. 各项系数全为正：

   $$
   a_3>0,\quad a_2>0,\quad a_1>0,\quad a_0>0
   $$

2. 满足不等式：

   $$
   a_1a_2>a_0a_3
   $$

因此，三阶系统稳定条件可写为：

$$
a_3,a_2,a_1,a_0>0,\qquad a_1a_2>a_0a_3
$$

四、四阶系统的稳定性判据

对于四阶系统：

$$
D(s)=a_4s^4+a_3s^3+a_2s^2+a_1s+a_0
$$

系统稳定的充要条件为：

1. 各项系数全为正：

   $$
   a_4>0,\quad a_3>0,\quad a_2>0,\quad a_1>0,\quad a_0>0
   $$

2. 满足不等式：

   $$
   a_2a_3>a_1a_4
   $$

3. 满足不等式：

   $$
   a_1a_2a_3>a_1^2a_4+a_0a_3^2
   $$

因此，四阶系统稳定条件可写为：

$$
a_4,a_3,a_2,a_1,a_0>0,\qquad a_2a_3>a_1a_4,\qquad a_1a_2a_3>a_1^2a_4+a_0a_3^2
$$

第六章 离散系统的时域分析

6.1 线性时不变离散系统的差分方程描述

对于一个线性时不变离散系统，若输入信号为 $f(n)$，输出信号为 $y(n)$，则输入—输出关系通常可用 $N$ 阶差分方程表示：

$$
\sum_{k=0}^{N} a_k y(n-k)=\sum_{r=0}^{M} b_r f(n-r)
$$

其中：

• $y(n)$：系统输出序列；
• $f(n)$：系统输入序列；
• $a_k,b_r$：系统常系数；
• $N$：输出项的最高延迟阶数；
• $M$：输入项的最高延迟阶数。

6.1.1 差分方程的阶数

差分方程的阶数定义为：响应序列最大序号减去响应序列最小序号。

例如，如果方程中出现 $y(n)$、$y(n-1)$、$y(n-2)$，则最高序号为 $n$，最低序号为 $n-2$，所以阶数为：

$$
n-(n-2)=2
$$

因此这是一个二阶差分方程。

6.2 LTI 离散系统的两个重要性质

LTI 系统指的是 Linear Time-Invariant System，即线性时不变系统。其两个核心性质是线性和时不变性。

6.2.1 线性

若输入 $f_1(n)$ 对应输出 $y_1(n)$，输入 $f_2(n)$ 对应输出 $y_2(n)$，则有：

$$
a_1 f_1(n)+a_2 f_2(n) \to a_1 y_1(n)+a_2 y_2(n)
$$

也就是说，系统满足齐次性和可加性。简单理解：输入的线性组合，对应输出的同样线性组合。

6.2.2 时不变性 / 位移不变性

若：

$$
f(n) \to y(n)
$$

则对任意整数 $m$，有：

$$
f(n-m) \to y(n-m)
$$

也就是说，输入延迟 $m$ 个单位，输出也延迟 $m$ 个单位，系统本身性质不随时间变化。

6.3 系统的零输入响应

6.3.1 定义

零输入响应是指：当系统输入信号为零时，仅由系统初始状态引起的响应。即：

$$
f(n)=0
$$

时系统产生的输出 $y(n)$。

6.3.2 零输入响应的一般形式

对于 $N$ 阶差分方程，当特征根互异时，其零输入响应的基本形式为：

$$
y_{zi}(n)=\sum_{i=1}^{N}K_i\lambda_i^n=K_1\lambda_1^n+K_2\lambda_2^n+\cdots+K_N\lambda_N^n,\quad n\ge 0
$$

其中：

• $\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_N$：系统特征方程的根；
• $K_1,K_2,\cdots,K_N$：由系统初始状态决定的常数。

6.3.3 与微分方程的类比

微分方程齐次解的基本形式通常为 $e^{\lambda_i t}$，而差分方程齐次解的基本形式为 $\lambda_i^n$。因此：

注意：计算零输入响应时，必须正确使用系统给定的初始状态。

6.4 离散信号的冲激分解

6.4.1 单位序列

离散系统中常用单位冲激序列 $\delta(n)$，其定义为：

$$
\delta(n)=
\begin{cases}
1, & n=0 \
0, & n\ne 0
\end{cases}
$$

6.4.2 任意离散信号的分解

任意离散信号 $f(n)$ 都可以表示为一系列移位冲激序列的加权和：

$$
f(n)=\cdots+f(-2)\delta(n+2)+f(-1)\delta(n+1)+f(0)\delta(n)+f(1)\delta(n-1)+f(2)\delta(n-2)+\cdots
$$

一般写为：

$$
f(n)=\sum_{k=-\infty}^{\infty}f(k)\delta(n-k)
$$

这表明：任意离散序列都可以看作不同位置的单位冲激序列叠加而成。

也可写成：

$$
f(n)=f(n)\ast\delta(n)
$$

其中 $\ast$ 表示卷积。

6.5 离散卷积和

6.5.1 卷积和定义

对于两个离散信号 $f_1(n)$ 和 $f_2(n)$，二者的卷积和定义为：

$$
f_1(n)\ast f_2(n)=\sum_{k=-\infty}^{\infty} f_1(k)f_2(n-k)
$$

卷积的结果仍然是一个关于 $n$ 的序列。

6.5.2 因果序列情况下的卷积

若 $f_1(n)$ 和 $f_2(n)$ 均为因果序列，即：

$$
f_1(n)=0,
\quad f_2(n)=0,
\quad n \lt 0
$$

则当 $n\ge 0$ 时，卷积和可化简为：

$$
f_1(n)\ast f_2(n)=\sum_{k=0}^{n} f_1(k)f_2(n-k)
$$

这是离散系统中最常用的卷积形式。

6.6 卷积和的基本性质

卷积和满足以下性质。

6.6.1 交换律

$$
f_1(n)\ast f_2(n)=f_2(n)\ast f_1(n)
$$

含义：两个信号卷积的顺序可以交换。

6.6.2 分配律

$$
f_1(n)\ast[f_2(n)+f_3(n)]=f_1(n)\ast f_2(n)+f_1(n)\ast f_3(n)
$$

含义：一个信号与两个信号之和卷积，等于分别卷积后再相加。

6.6.3 结合律

$$
f_1(n)\ast[f_2(n)\ast f_3(n)]=[f_1(n)\ast f_2(n)]\ast f_3(n)
$$

含义：多个信号连续卷积时，可以改变结合顺序。

6.7 离散系统的零状态响应

6.7.1 单位响应

在零状态条件下，由单位序列 $\delta(n)$ 引起的响应称为系统的单位响应，记为 $h(n)$。即：

$$
\delta(n) \to h(n)
$$

其中：

• 零状态条件：系统初始储能为零；
• $h(n)$：单位冲激响应，也称单位响应。

6.7.2 零状态响应的核心结论

对于线性时不变离散系统，若系统单位响应为 $h(n)$，输入为 $f(n)$，则系统的零状态响应为：

$$
y(n)=f(n)\ast h(n)
$$

展开为：

$$
y(n)=\sum_{k=-\infty}^{\infty}f(k)h(n-k)
$$

这说明：线性时不变离散系统的零状态响应等于输入序列与单位响应的卷积和。

6.7.3 因果系统中的零状态响应

若输入 $f(n)$ 和单位响应 $h(n)$ 均为因果序列，即：

$$
f(n)=0,
\quad h(n)=0,
\quad n \lt 0
$$

则当 $n\ge 0$ 时，有：

$$
y(n)=f(n)\ast h(n)=\sum_{k=0}^{n}f(k)h(n-k)
$$

这是因果 LTI 离散系统最常用的零状态响应公式。

6.8 核心理解：为什么 LTI 系统输出是卷积？

任意输入 $f(n)$ 可以分解为冲激序列的加权和：

$$
f(n)=\sum_{k=-\infty}^{\infty}f(k)\delta(n-k)
$$

由于系统是时不变的：

$$
\delta(n) \to h(n)
$$

则：

$$
\delta(n-k) \to h(n-k)
$$

由于系统是线性的：

$$
\sum_{k=-\infty}^{\infty}f(k)\delta(n-k) \to \sum_{k=-\infty}^{\infty}f(k)h(n-k)
$$

所以输出为：

$$
y(n)=\sum_{k=-\infty}^{\infty}f(k)h(n-k)
$$

即：

$$
y(n)=f(n)\ast h(n)
$$