第一章 信号与系统导论
1.1 信号的分类
确定信号与随机信号
- 确定信号：任一由确定时间函数描述的信号。
- 随机信号：信号是时间的随机函数。
周期信号与非周期信号
连续周期信号的数学表达式：
$$f(t) = f(t + nT), \quad n = \pm1, \pm2, \pm3, \cdots, \quad -\infty < t < \infty$$
离散周期信号的数学表达式：
$$f(k) = f(k + nN), \quad n = \pm1, \pm2, \pm3, \cdots, \quad -\infty < k < \infty$$
其中，$k$ 取整数。连续周期信号的自变量 $t$ 是连续时间变量，离散周期信号的自变量 $k$ 是离散整数变量。
连续时间信号与离散时间信号
- 连续时间信号：在某个时间区间内，除了有限个间断点外都有定义的信号。
- 离散时间信号：仅在离散时刻点上有定义的信号。
因果信号与非因果信号
- 因果信号：信号 $f(t)$ 在 $t < 0$ 时有 $f(t) = 0$。
- 非因果信号：不满足因果信号定义的信号。
根据频段分类
1.2 信号与系统的关系
- 信号必定由系统产生、发生、传输与接收，离开系统没有孤立存在的信号。
- 系统的重要功能是对信号进行加工、变换与处理；没有信号，系统就没有存在的意义。
1.3 系统的分类
线性系统与非线性系统
- 线性系统：若 $f_1(t) \to y_1(t)$，$f_2(t) \to y_2(t)$，则对于任意常数 $a_1$ 和 $a_2$，有 $a_1f_1(t) + a_2f_2(t) \to a_1y_1(t) + a_2y_2(t)$。
判断一个系统是否为线性系统，还可以直接从其描述方程判断。若系统是以线性代数方程或线性微（积）分方程描述的，则该系统就是线性的。信号通过线性系统后不会产生新的频率分量，信号的幅度和相位可能发生变化。 - 非线性系统：不满足上述齐次性和可加性的系统。
时不变系统与时变系统
- 时不变系统：系统的元件参数不随时间变化，或系统的方程为常系数；否则为时变系统。时不变性可表示为：若 $f(t) \to y(t)$，则 $f(t - t_0) \to y(t - t_0)$。
因果系统与非因果系统
- 因果系统：在激励信号作用之前，系统不产生响应。如果系统的输出 $y(t)$ 只取决于某个时刻以及该时刻以前的输入，则它是因果系统，如 $e(t)$、$e(t - 1)$、$e(t - 2)$ 等。
- 非因果系统：如果系统的输出 $y(t)$ 不仅取决于现在和过去的输入，而且还取决于未来的输入，则它是非因果系统，如 $e(t + 1)$、$e(t + 2)$ 等。这在时间上违背了因果规律。
1.4 常用基本信号
直流信号
- 直流信号：$f(t) = A$，$-\infty < t < \infty$，即在时间域上等于恒值的非因果信号。
正弦信号
- 正弦信号：$f(t) = K \sin(\omega t + \theta)$。
- 振幅：$K$。
- 周期：$T = \dfrac{2\pi}{\omega}$。
- 频率：$f = \dfrac{1}{T}$。
- 角频率：$\omega = 2\pi f$。
单位阶跃信号
斜坡信号
矩形脉冲信号
欧拉公式
欧拉（Euler）公式：
$$e^{j\omega t} = \cos(\omega t) + j\sin(\omega t)$$
$$e^{-j\omega t} = \cos(\omega t) - j\sin(\omega t)$$
$$\sin(\omega t) = \frac{1}{2j}\left(e^{j\omega t} - e^{-j\omega t}\right)$$
$$\cos(\omega t) = \frac{1}{2}\left(e^{j\omega t} + e^{-j\omega t}\right)$$
取样函数
单位冲激信号
定义
$$\delta(t) = 0, \quad t \ne 0$$
$$\int_{-\infty}^{+\infty} \delta(t),dt = 1$$
函数值只在 $t = 0$ 时不为零。
$t = 0$ 时，$\delta(t) \to \infty$，为无界函数。
积分面积为 1。
与单位阶跃信号的关系
冲激信号的性质
抽样性（筛选性）
冲激偶
第二章 连续系统的时域分析
2.1 线性时不变系统描述及其响应
系统的微分方程
零输入响应与零状态响应
零输入响应
从观察的初始时刻（例如 $t = 0$）起不再施加输入信号（即零输入），仅由该时刻系统本身的起始储能状态引起的响应称为零输入响应（ZIR）。
零状态响应
当系统的储能状态为零时，由外加激励信号（输入）产生的响应称为零状态响应（ZSR）。
完全响应
完全响应 = 零输入响应（ZIR）+ 零状态响应（ZSR）
2.2 阶跃响应与冲激响应
单位阶跃信号
标准一阶线性微分方程求法
对于标准一阶线性微分方程：
$$y’(t) + P(t)y(t) = Q(t)$$
在初始状态为 0（即 $t = 0^-$ 时响应为 0）的条件下，其通解公式为：
$$y(t) = e^{-\int P(t),dt}\int_{0^-}^{t} Q(\tau)e^{\int P(\tau),d\tau},d\tau$$
常系数二阶微分方程求法
一般形式：
$$ay’’(t) + by’(t) + cy(t) = f(t)$$
求解步骤：
先求齐次方程：
$$ay’’(t) + by’(t) + cy(t) = 0$$
写出特征方程：
$$ar^2 + br + c = 0$$
根据特征根确定齐次解：
若有两个不相等实根 $r_1$、$r_2$：
$$y_h(t) = C_1e^{r_1t} + C_2e^{r_2t}$$
若有两个相等实根 $r$：
$$y_h(t) = (C_1 + C_2t)e^{rt}$$
若有一对共轭复根 $r = \alpha \pm j\beta$：
$$y_h(t) = e^{\alpha t}\left(C_1\cos \beta t + C_2\sin \beta t\right)$$
求特解 $y_p(t)$。
写出完全解：
$$y(t) = y_h(t) + y_p(t)$$
代入初始条件，确定常数 $C_1$、$C_2$。
2.3 卷积及其应用
卷积的定义
$$y(t) = f_1(t) * f_2(t) = \int_{0}^{t} f_1(\tau)f_2(t - \tau),d\tau$$
其中，信号 $f_1$、$f_2$ 均为因果信号，满足该方程。
卷积的性质
例题
1. 已知条件拆解
激励信号（输入）：
$$e(t) = e^{-\frac{t}{2}}[u(t) - u(t - 2)]$$
这是一个被截断的指数衰减信号。由于方波门函数 $[u(t) - u(t - 2)]$ 的存在，它只在 $0 \le t < 2$ 期间有值，其余时间均为 0。
电路参数：电感 $L = 1\text{H}$，电阻 $R = 1\Omega$。
求解目标：零状态响应 $i(t)$，即假设电感初始电流为 0 的情况下，纯粹由输入 $e(t)$ 引起的响应。
2. 核心解题思路
对于线性时不变（LTI）系统，零状态响应等于输入信号与系统冲激响应的卷积：
$$i(t) = e(t) * h(t) = \int_{-\infty}^{+\infty} e(\tau)h(t - \tau),d\tau$$
因此，解题分为三步：求冲激响应 $h(t)$，代入卷积公式，分段计算积分。
3. 冲激响应 $h(t)$ 的推导
图片中直接给出了：
$$h(t) = e^{-t}u(t)$$
其推导过程如下：根据基尔霍夫电压定律（KVL），串联回路的方程为：
$$L\frac{di(t)}{dt} + Ri(t) = e(t)$$
代入 $L = 1$、$R = 1$，得到系统的微分方程：
$$\frac{di(t)}{dt} + i(t) = e(t)$$
当输入为单位冲激信号 $\delta(t)$ 时，输出即为冲激响应 $h(t)$：
$$\frac{dh(t)}{dt} + h(t) = \delta(t)$$
这是一个典型的一阶微分方程，其对应的特征根为 $\lambda + 1 = 0$，即 $\lambda = -1$。因此冲激响应为：
$$h(t) = e^{-t}u(t)$$
4. 卷积积分的计算
将 $e(t)$ 和 $h(t)$ 代入卷积公式：
$$i(t) = \int_{-\infty}^{+\infty} e(\tau)h(t - \tau),d\tau$$
$$i(t) = \int_{-\infty}^{+\infty} \left{e^{-\frac{\tau}{2}}[u(\tau) - u(\tau - 2)]\right}\left{e^{-(t - \tau)}u(t - \tau)\right},d\tau$$
合并指数项：
$$e^{-\frac{\tau}{2}}e^{-(t - \tau)} = e^{-t}e^{\frac{\tau}{2}}$$
由于积分变量是 $\tau$，$e^{-t}$ 可以作为常数提到积分号外面：
$$i(t) = e^{-t}\int_{-\infty}^{+\infty} e^{\frac{\tau}{2}}[u(\tau) - u(\tau - 2)]u(t - \tau),d\tau$$
5. 分段确定积分上下限
被积函数不为 0，必须同时满足以下两个条件：
- 由 $[u(\tau) - u(\tau - 2)] = 1$ 可知：$0 \le \tau < 2$。
- 由 $u(t - \tau) = 1$ 可知：$t - \tau \ge 0$，即 $\tau \le t$。
综合这两个条件，积分变量 $\tau$ 的有效范围是同时满足 $0 \le \tau < 2$ 且 $\tau \le t$。
当 $t < 0$ 时
条件 $\tau \le t < 0$ 与 $0 \le \tau$ 矛盾，没有重合区间。此时积分值为 0：
$$i(t) = 0$$
当 $0 \le t < 2$ 时
由于 $t < 2$，所以 $\tau$ 的上限受限于 $t$，有效积分区间为 $[0, t]$：
$$i(t) = e^{-t}\int_{0}^{t} e^{\frac{\tau}{2}},d\tau$$
$$\int e^{\frac{\tau}{2}},d\tau = 2e^{\frac{\tau}{2}}$$
$$i(t) = e^{-t}\left[2e^{\frac{\tau}{2}}\right]_{0}^{t} = e^{-t}\left(2e^{\frac{t}{2}} - 2\right)$$
化简得：
$$i(t) = 2e^{-\frac{t}{2}} - 2e^{-t}$$
当 $t \ge 2$ 时
由于 $t \ge 2$，条件 $\tau \le t$ 已经包含了整个区间 $[0, 2]$，有效积分区间被固定在 $[0, 2]$：
$$i(t) = e^{-t}\int_{0}^{2} e^{\frac{\tau}{2}},d\tau$$
$$i(t) = e^{-t}\left[2e^{\frac{\tau}{2}}\right]_{0}^{2} = e^{-t}(2e - 2)$$
化简得：
$$i(t) = 2(e - 1)e^{-t}$$
6. 最终结论
经过分段计算，该题的最终零状态响应 $i(t)$ 的分段表达式为：
$$i(t) = \begin{cases} 0, & t < 0 \ 2e^{-\frac{t}{2}} - 2e^{-t}, & 0 \le t < 2 \ 2(e - 1)e^{-t}, & t \ge 2 \end{cases}$$